Bsp 6.4

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Man ermittel für die exponentialverteilte sG, X~Exz, einen Ausdruck für das n-te Moment der Verteilung, d.h. man berechne E(X^n) für n el N, und ermittle auf Basis dieses Ausdrucks (i) den Mittelwert und (ii) die Varianz von X.

Hinweis: Führen sie das zu berechnende Integral auf die Gamma-Funktion zurück.

(z...Tau)


Lösung:

l...Lamda
el...element
Int...Integral
g...gamma

X~(1/z)*(e^(-x/z))

(1/z) = l

=> X~l*(e^(-l*x)

E(X) = Int -unendlich bis unendlich x*f(x) dx

E(X^n) = Int -unendlich bis unendlich (x^n)*f(x) dx

f(x) = 0 für x<0

f(x) = l*(e^(-l*x) für x>=0

(i) E(X^n) = (Int -unendlich bis 0 (x^n)*0 dx) + (Int 0 bis unendlich (x^n)*(l*(e^(-l*x))) dx) = l * Int 0 bis unendlich (x^n)*(e^(-l*x)) dx

Substitution: l*x = t => x = (t/l)
dx = (1/l)*dt

E(X^n) = l * Int 0 bis unendlich (x^n)*(e^(-l*x)) dx = l * Int 0 bis unendlich ((t/l)^n)*(e^-t)*(1/l) dt = (1/(l^n)) * Int 0 bis unendlich (t^n)*(e^-t) dt = (1/(l^n)) * g(n+1) = (1/(l^n))*n!

E(X) = (1/l)*1! => E(X)=(1/l)

(ii) Var(X) = E(X^2) - ((E(x))^2) = ((1/(l^2))*2) - (1/(l^2)) => Var(X)=(1/(l^2))

[kb23kye]

:hewa:

....* Int 0 bis unendlich (t^n)*(e^-t) dt = (1/(l^n)) * g(n+1) = (1/(l^n))*n!

mir ist dieser schritt nicht ganz klar... kann mir da vielleicht jemand auf die sprünge helfen?

wäre toll - mfg jürgen

[miezl]

In Kapitel 13.1 ist die Gammafunktion folgendermaßen definiert:

gamma(x) = int(0..unendl) t^(x-1) * e^(-t) dt

Und genau in diese Definition wird eingesetzt.

Weiter unten im Kapitel stehen dann einige Regeln: unter anderem: gamma(n) = (n-1)!

Das wird auch einfach eingesetzt.