Bsp 6.3

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Berechnen Sie für die Wartezeit bei der Ampel von Bsp 4.2:

(a) den Mittelwert E(X).

(b) die Streuung sqrt Var(X).

Verwenden Sie zur einfachen Berechnung bei (b) den Verschiebungssatz.


Lösung:

Int...Integral

(a) E(X) = Int -unendlich bis unendlich x*f(x) dx

E(X) = Int 0 bis 90 x * (1/90) = ((x^2)/2)*(1/90) |0 bis 90 => E(X)=45

(b) Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

E(X^2) = Int 0 bis 90 (x^2)*(1/90) dx = ((x^3)/3)*(1/90) |0 bis 90 => E(X^2)=2700

Var(X) = 2700 - (45^2) = 2700-2025 => Var(X)=675

sqrt Var(X)=25.98

[kb23kye]

naja ich habe zu dem a eine wenig andere lösung:


E(X) = 0 + ((90-25)^2 * (1/(90-25)) = 32,5

die 0 daher, da ich ja bis 25 sowieso eine grünphase habe
und dann (90-25) das ist die zeit die ich wirklich an der ampel verbringe.

ist der ansatz richtig oder nicht?

comments erwünscht...

greetings jürgen

[kb23kye]

dann müsste bei b das ganze folgendermassen aussehen:

Der Verschiebungssatz lautet:

Var(X) = E[x^2] - (E X)^2

E[x^2] = ((x^3)/3) * (1/65) = 1408,33

(E X)^2 = 32,5^2 = 1056,25

==> Var(X) = 1408,35 - 1056,25 = 352,08

und die Streuung (sqrt(Var X)) sollte dann 18,76 sein.

hat irgendwer die gleichen ergebnisse wie ich?

[moose]

ich hab das so gerechnet:
http://stud3.tuwien.ac.at/~e0101750/Stat/Stat6_3.GIF
E(X) = µ = 1/90 * Integrate[90-x, {x, 25, 90}] = 1/90 * 65^2/2 = 23.47s

Var X = E(X^2) - (E(X)^2) = 1/90 * Integrate[(90-x)^2, {x, 25, 90}] - µ^2 = 466.2s²

Sqrt[Var X] = 21.59s

[lj_scampo]

Ich habs wie moose.. wollts grad posten, aber er war schneller ;)
nur fuer die Streuung bekomme ich 31,52
hatte ein quadrat vergessen.. bekomme jetzt auch 21,59

[kb23kye]

E(X) = µ = 1/90 * Integrate[90-x, {x, 25, 90}] = 1/90 * 65^2/2 = 23.47s

@moose

...naja dann ist doch mein erwartungswert in dem bereich der grünphase. würde das nicht heissen, das.....

naja laut buch heisst es das der erwartungswert EX von X ein Zahlenwert ist , der das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung Wx anzeigt. (naiv denkend würde ich sagen das wäre eher mehr die mitte und nicht links in der grünphase)

und wieso hast in der rechnung 1/90? müsste das nicht 1/65 sein da ich ja von 25 nach 90 integriere?

math genie bin ich keins - daher ist das auch nur ein denkanstoss, und sollte keine verbesserung sein...

comments wie immer erwünscht...

greetings jürgen

[lj_scampo]

@kb23kye: Ich hab das so verstanden:
EX ist ja der Erwartungswert fuer die Wartezeit, d.h. ich muss mit 23,47 sec. Wartezeit rechnen. Wenn Du das im Diagramm von moose eintraegst, dann nicht auf der x-, sondern auf der y-Achse. Daraus bekommst Du dann einen Ankunfts-wert von "rechts".
Ein Erwartungswert fuer die Wartezeit kann also gar nicht in die Gruenphase fallen, da er sicher >0 ist und die Gruenphase ja immer auf 0 bleibt
Hoffe, das war jetzt verwirrend genug ;)

[kb23kye]

okay... habs jetzt so einigermassen verstanden

thx

[Kuschelmaus]

@ moose

welche funktion integrierst du?

[wene]

@ kuschelmaus

anhand der Grafik von moose:

Geradengleichung: kx+d

delta x: 65
delta y: 65

d: 90 (Verschiebung vom Nullpunkt entlang der y-Achse)
k: delta y / delta x

Steigung k neg. weil fallend:

= - 65/65 x + 90

= -x + 90

[Duke Lukem]

Hallo,

Meine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Wartezeit ist im Intervall von 0 bis 65 definiert.
(Man kann max. 65 sec warten)

An der Stelle 0 hat die Funktion den Wert 25/90.
Wörtlich: Die Wahrscheinlichkeit gar nicht warten zu müssen ist 25/90.

Im Intervall (0, 65] hat die Funktion den Wert 1/90.
(Die Wahrscheinlichkeit x sec warten zu müssen ist 1/90)

Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:

E(X) = 0 * 25/90 + Integral von 0 bis 65 (x * 1/90) = 23,47

Kann mein Lösungsweg stimmen? Für mich klingt er logisch...

Vom Ergebnis her stimmt es mit Moose seiner Lösung überein, bei der Varianz hab ich leider Probleme...

Schönen Abend noch,

Luke

[SideshowRichie]

Original geschrieben von moose

E(X) = µ = 1/90 * Integrate[90-x, {x, 25, 90}] = 1/90 * 65^2/2 = 23.47s


blöde frage, aber von wo kommt das 1/90 mit dem multipliziert wird?

Edit: tschuldigung, ist schon beantwortet worden als ich gefragt habe.

[moose]

Die Funktionen, ueber die wir beide Integrieren, stimmen ueberein, nur
waechst deine von 0 bis 65 auf 13/18 an und meine faellt von 25 bis 90 von
13/18 auf 0 ab.
Die Flaeche is daher trivialerweise gleich :)

lg Peter

"Duke Lukem" <lss@aon.at> schrieb im Newsbeitrag
news:OiCoTldQ8KgMpkevAANNxQ-1037652110-24937@hades.htu.tuwien.ac.at...
> Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:
>
> E(X) = 0 * 25/90 + Integral von 0 bis 65 (x * 1/90) = 23,47
>