Bsp. 5.3

[jjan]

Es müssen mindestens 2 Verbindungen ausfallen, damit das System ausfällt ...

Alle Verbindungen haben die gleiche Ausfallswahrscheinlichkeit (ich nenne sie im folgenden praktikablerweise p):

W, dass das System ausfällt =

(3 über 2) * p^2 * (1-p) +
(3 über 3) * p^3

p ist nun eigentlich: 1 - e^(-at)
a ... lambda

Verteilungsfunktion:

F(t) = 3 * (1-e^(-at))^2 * e^(-at) + (1-e^(-at))^3

Skizze dazu für a = 1:
http://jjan.shacknet.nu/stat5_3.bmp

Dichtefunktion:
F'(t) = f(x) = 6a * e^(-2ax) * (1-e^(-ax))

Skizze dazu für a = 1:
http://jjan.shacknet.nu/stat5_3b.bmp

So, das passt nun schon wesentlich besser, als mein erste Lösungsvorschlag, denke ich.

Ist natürlich nach wie vor nur ein Denkanstoß, bin mir überhaupt nicht sicher.

[dj_m.o.h.t.]

l...Lamda

(a) F1(keine Verbindung intakt an T>t) = (e^(-3*l*t)) - ((e^(-l*t))^3)

F2(eine Verbindung intakt an T>t) = (3*((e^(-l*t))^2)*(1-(e^(-l*t)))

F=F1+F2 = 1 - [((e^(-l*t))^3) + (3*((e^(-l*t))^2))*(1-(e^(-l*t)))] = 1- [(e^(-3*l*t)) + (3*(e^(-2*l*t))) - (3*(e^(-3*l*t)))] = 1 - [(3*(e^(-2*l*t))) - (2*(e^(-3*l*t)))] = 1- [(e^(-2*l*t))*(3-(2*(e^(-l*t))))]

(b) f(t)=l*(e^(-l*t))
f1(keine Verbindung intakt zur Zeit T) = ((l*(e^(-l*t)))^3) = (l^3)*(e^(-3*l*t))

f2(eine Verbindung intakt zur Zeit T) = (3*(1-(l*(e^(-l*t)))))*(l*(e^(-l*t))) = (3*(1-(l*(e^(-l*t)))))*((l^2)*(e^(-l*t)))

f(t)=f1+f2 = 1 - [((l^3)*(e^(-3*l*t))) + (3*(l^3)*(e^(-3*l*t)))] = 1 - [(3*(l^2)*(e^(-2*l*t))) - (2*(l*(e^(-l*t))))]

für Zeichnunt: l=1 => f(t) = 1 - [(e^(-2t))*(3-(2*(e^(-t))))]

[12gauge]

@jjan: Wieso ist die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall 1-e^(-lambda*t) und nicht nur e^(-lambda*t)?

[MacLoud]

@ robby:
wie kommst du bei Aufgabe b unter f2 von l plötzlich auf l^2?
vor dem e^-lt

[jjan]

Original geschrieben von 12gauge
@jjan: Wieso ist die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall 1-e^(-lambda*t) und nicht nur e^(-lambda*t)?

Laut Angabe ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Verbindung erst nach dem Zeitpunkt t ausfällt (als bis t _funktioniert) = e^(-lambda*t)

Also nehmen wir davon genau die Gegenwahscheinlichkeit, nämlich 1 - ...

Ich habs zuerst auch verkehrt rum gehabt, ist auch ned so schlimm, dann ist deine Verteilungsfunktion nur halt gespiegelt.

[VTEC]

@jjan:

wenn ich die Formel, die Du für die Dichtefunktion ausgerechnet hast, in Mathematica plotten lasse, kommt bei mir was anderes raus (auch wenn man z.B. den Punkt t=1 nachrechnet):

f = 6*t*E^(-2*t)(1 - E^(-t))
\!\(6\ \[ExponentialE]\^\(\(-2\)\ t\)\ \((1 - \[ExponentialE]\^\(-t\))\)\ t\)
Plot[f, {t, 0, 3}, GridLines -> Automatic]

Das sieht dann aus wie im Anhang. Nachdem ich den Punkt t=1 mit dem Taschenrechner nachgerechnet habe, muß entweder die Grafik von Dir nicht zur Formel passen oder umgekehrt.

[jjan]

Original geschrieben von VTEC
@jjan:

wenn ich die Formel, die Du für die Dichtefunktion ausgerechnet hast, in Mathematica plotten lasse, kommt bei mir was anderes raus (auch wenn man z.B. den Punkt t=1 nachrechnet):

f = 6*t*E^(-2*t)(1 - E^(-t))
\!\(6\ \[ExponentialE]\^\(\(-2\)\ t\)\ \((1 - \[ExponentialE]\^\(-t\))\)\ t\)
Plot[f, {t, 0, 3}, GridLines -> Automatic]

Das sieht dann aus wie im Anhang. Nachdem ich den Punkt t=1 mit dem Taschenrechner nachgerechnet habe, muß entweder die Grafik von Dir nicht zur Formel passen oder umgekehrt.

Du hast recht, danke für den Hinweis. Die Formel passt, keine Ahnung, weshalb das Bild nicht stimmt. Muss da wohl den falschen Graph gespeichert haben ;-)

Hab's jetzt korrigiert ...

[Shade]

@jjan
wie kommst du auf die dichte funktion?

[jjan]

Original geschrieben von Shade
@jjan
wie kommst du auf die dichte funktion?

Die Dichtefunktion == F'(x) (die erste Ableitung der Verteilungsfunktion)

[Shade]

danke kriegs jetzt auch raus...hab mich vorher nur beim ableiten verechnet...