Bsp 5.6

[jjan]

Dieses Beispiel ist sehr leicht, wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte es so passen:

a)

X = chi

6 Freiheitsgrade: X^{2}_{6}

= Gam(6/2, 2)

= f(x) = (x^2 * e^(-x/2)) / (gamma(3) * 2^3)

= (x^2 * e^(-x/2)) / (2^4) = 1/16 x^2 * e^(-1/2 x)

Dichtefunktion:
http://jjan.shacknet.nu/stat5_6.bmp

b) 1/16 (Integral von 0 bis 6) x^2 * e^(-1/2 x) = 0,577

1/16 (Integral von 3 bis 9) x^2 * e^(-1/2 x) = 0,635

Die Integrale sind von Hand etwas unangenehm zu berechnen, mit Hilfe von Mathematica geht's wesentlich leichter :)

Soweit meine Lösung dieses Beispiels.

[dj_m.o.h.t.]

g...gamma
int...integral

X~{(1/((2^(n/2))*g*(n/2)))*(t^((n/2)-1))*(e^(-t/2))} für t>0
X~{0} für t<0

g(p)=int 0 bis unendlich ((x^(p-1))*(e^-x) dx

F(x^2)(x)=(1/((2^(n/2))*g*(n/2))) * int 0 bis x ((t^((n/2)-1))*(e^(-t/2))) dt

(a) n=6: g(n)=(n-1)!
g(3)=2
f(x)=(1/(8*(g(3)))) * (t^2) * (e^(-t/2)) = 1/16 * (t^2) * (e^(-t/2))

(b) W(X<=6) = 1/16 * int 0 bis 6 ((t^2)*(e^(-t/2))) dt = 1/16 *[((-2)*(t^2)*(e^(-t/2)) | 0 bis 6) - ((8t)*(e^(-t/2)) | 0 bis 6) - ((16)*(e^(-t/2)) | 0 bis 6)] = 1/16 * [((-72)*(e^-3)) - ((48)*(e^-3)) - ((16)*(e^-3)) +16] = 0.5768

W(X<=9) = 1/16 * int 0 bis 9 ((t^2)*(e^(-t/2))) dt = 1/16 *[((-2)*(t^2)*(e^(-t/2)) | 0 bis 9) - ((8t)*(e^(-t/2)) | 0 bis 9) - ((16)*(e^(-t/2)) | 0 bis 9)] = 1/16 * [((-162)*(e^-4.5)) - ((72)*(e^-4.5)) - ((16)*(e^-4.5)) +16] = 0.989

W(X<=3) = 1/16 * int 0 bis 3 ((t^2)*(e^(-t/2))) dt = 1/16 *[((-2)*(t^2)*(e^(-t/2)) | 0 bis 3) - ((8t)*(e^(-t/2)) | 0 bis 3) - ((16)*(e^(-t/2)) | 0 bis 3)] = 1/16 * [((-18)*(e^-1.5)) - ((24)*(e^-1.5)) - ((16)*(e^-1.5)) +16] = 0.949

W(3<=X<=9) = W(X<=9) - W(X<=3) = 0.039

[gck]

Frage: kann ich beim 2ten Teil von b) nicht auch einfach die Grenzen 3 und 9 in mein Integral einsetzen, anstatt von 0 bis 9 zu integrieren, und dann das best. Integral von 0 bis 3 davon abzuziehen?

[VTEC]

Soooo aufwändig ist die partielle Integration auch wieder nicht, bei mir kommt sogar das richtige raus (Mathematica proof quality sozusagen)

Faktor 1/16 nachher nicht vergessen...