View Full Version : 5.2
Vielleicht haben die Leute ja Angst, daß die Posts morgen wieder weg sind, ich war schon ziemlich frustriert, da wir letzte Woche so gut zusammengearbeitet haben.
What shalls - das 5.2 dürfre ziemlich leicht sein, da Exponentialfunktionen so handlich sind:
Monitor mit T=6,5Jahre
a) Prozentsatz der Monitore, die >5 Jahre halten
in F(x) einsetzten, von 1 abziehen: 0,4637
b) Median der Lebensdauer
x=-T*ln(1-F(x))=4,5054
c)5 Jahre zusätzliche Lebensdauer unter der Bedingung, 3 Jahre schon überdauert zu haben
p=e^-x1/T * (1 + e^-x2/T - e^-x1/T)=0,4171
wobei x1^=3Jahre und x2=8Jahre
Das kommt mir aber etwas lang vor, kann aber durch die Bedingung so sein
ad (b) der Median ist doch
\int\limits_{-\infty}^{\infty} t f(f) dt
f(t) die Dichtefunktion ist für die Exponentialverteilung 1/\tau e^{-t/\tau} I_{(0,\infty}(x)
ich komme für den Median genau auf \tau
Hi, a) und b) schauen gut aus, für c) habe ich eine andere Lösung, und zwar:
1 - F(8) = 0,292 ... W, dass der Monitor nach dem 8. Jahr stirbt
F(8) - F(3) = 0,338 ... W, dass der Monitor zwischen dem 3. und dem 8. Jahr stirbt
W, dass der Monitor nach dem 3. Jahr noch mindestens 5 Jahre weiterlebt:
0,292/(0,292+0,338) = 0,463
Anbei ein Bild, das das Ganze illustriert:
http://jjan.shacknet.nu/stat5_2.bmp
Keine Ahnung, was nun stimmt, so groß ist der Unterschied ja auch nicht ...
Original geschrieben von heder
ad (b) der Median ist doch
\int\limits_{-\infty}^{\infty} t f(f) dt
f(t) die Dichtefunktion ist für die Exponentialverteilung 1/\tau e^{-t/\tau} I_{(0,\infty}(x)
ich komme für den Median genau auf \tau
Hm, meinem Verständnis nach ist der Median der X Wert, der die Verteilung in die Hälfte spaltet: 50 % der Monitore gehen davor ein, 50 % danach.
Ich hab also gerechnet:
1 - e^(-x/6,5) = 0,5
-> x = - ln(0,5) * 6,5 = 0,4505
Anbei auch eine Skizze, die die Richtigkeit des Wertes (sofern meine Annahme stimmt) beweist:
http://jjan.shacknet.nu/stat5_2b.bmp
ad b)
ich hab mir gedacht, ich setzte F(x)=0.5, wo ja die Hälfte aller Werte links und die andere Hälfte rechts des Wertes liegen sollten und rechne dann x aus.
[edit] da war jjan schon schneller...
ad c)
jjan: sollte man nicht das Wissen berücksichtigen, daß der Monitor schon 3 Jahre durchgehalten hat?
Ich habe die bedingte Wahrscheinlichkeit (1-F(3))*(1-F(3 bis 8))gerechnet, das Ergebnis siehe Formel oben, ich kann mich aber auch irren.
Die anderen Bsp. werd ich wohl morgen mit Mathematica und meinem Mathe2-Skriptum rechnen, bin grad nicht zu Hause
Original geschrieben von VTEC
ad c)
jjan: sollte man nicht das Wissen berücksichtigen, daß der Monitor schon 3 Jahre durchgehalten hat?
Ich habe die bedingte Wahrscheinlichkeit (1-F(3))*(1-F(3 bis 8))gerechnet, das Ergebnis siehe Formel oben, ich kann mich aber auch irren.
Die anderen Bsp. werd ich wohl morgen mit Mathematica und meinem Mathe2-Skriptum rechnen, bin grad nicht zu Hause [/B]
Also meiner Meinung nach berücksichtige ich, dass das Teil schon 3 Jahre lang gelebt hat. Die günstigen Fälle sind bei mir, dass der Monitor erst nach dem 8. Jahr stirbt. Die ungünstigen Fälle sind, dass er zwischen dem 3. und dem 8. stirbt (also innerhalb der 5 Jahre). Dann rechne ich günstige/(günstige+ungünstige).
Dadurch, dass ich erst vom 3. Jahr weg rechne, wird IMHO berücksichtigt, dass er schon 3 Jahre lebt.
Ich versuch aber nochmal, Deinen Ansatz nachzuvollziehen ...
Oh, ich hab jetzt erst gesehen, dass meine Lösung c) ja genau mit a) übereinstimmt ... damit ist sie ziemlich sicher falsch ...
lj_scampo
10-11-2002, 20:34
@c) Ich habe es mit der bedingten Wlkt. gerechnet und bekomme das selbe wie jjan raus:
W( X>8 | X>3 ) = (da die Schnittmenge von W(X>8) und W(X>3) gleich W(X>8) ist) =
= W(X>8) / W(X>3) = (1-F(8)) / (1-F(3)) = 0,4634
Was denkt ihr, könnts so stimmen?
lj_scampo
10-11-2002, 20:38
Oh, ich hab jetzt erst gesehen, dass meine Lösung c) ja genau mit a) übereinstimmt ... damit ist sie ziemlich sicher falsch ...
Ich denke, dass ja genau das der Clou ist: egal nach welcher Zeit, die Wlkt., dass der Monitor noch x Jahre überdauert bleibt immer die selbe..
(ich denke, gerade deshalb ist ein Vergleich mit a) gefragt)
Original geschrieben von lj_scampo
Ich denke, dass ja genau das der Clou ist: egal nach welcher Zeit, die Wlkt., dass der Monitor noch x Jahre überdauert bleibt immer die selbe..
(ich denke, gerade deshalb ist ein Vergleich mit a) gefragt)
Hm, da hast Du eigentlich auch wieder recht ...
Außerdem hab ichs jetzt mal so ausprobiert, dass der Monitor schon 4 Jahre alt ist und noch mindestens 5 Jahre lang leben soll -> Bingo: Wahrscheinlichkeit liegt wieder bei 0.4603
Jetzt ist die Frage: Wenn das stimmt, was soll uns das sagen? Dass die Exponentialverteilung für sowas unbrauchbar ist (Prof. Viertl hat da mal eine Andeutung gemacht, dass die Exponentialverteilung vollkommen unbrauchbar für Lebensversicherungen ist - das dürfte ja in die selbe kategorie fallen), oder dass es tatsächlich immer gleich wahrscheinlich bleibt (was ich mir kaum vorstellen kann) ...
Na ja, Fragen über Fragen ;-)
ad Median:
IHMO: bei F(x) = 0.5 sind 50% der Monitore defekt, aber das ist nicht die mittlere Lebensdauer, das gleiche hatten wir bei dem Ampel Bsp. letzte Woche
Original geschrieben von heder
ad Median:
IHMO: bei F(x) = 0.5 sind 50% der Monitore defekt, aber das ist nicht die mittlere Lebensdauer, das gleiche hatten wir bei dem Ampel Bsp. letzte Woche
Hm, ich versteh natürlich schon was du meinst, aber ich bin eben der Meinung, dass der Median der Lebensdauer _nicht_ gleich der durchschnittlichen Lebensdauer ist.
Der Median ist imho eben der Punkt, der zwischen den 50 % kaputten und ganzen teilt.
Bei der Ampel war der Median ja auch nicht die durchschnittliche Wartezeit, sondern der Zeitpunkt, bis zu dem man mit 50%iger Wahrscheinlichkeit warten musste ... Oder hab ich das falsch in Erinnerung? Auf jeden Fall ist das Ganze Definitionssache, ich verstehe genau was Du meinst, nur hab ich eine andere Definition des Medians als Du.
wäre der durchschnittswert nicht der erwartungswert?
der median teilt ja nur die fläche unter der funktion in 2 gleiche hälften...
my lasts: ähm. sorry, ja stimmt, F(x)=0.5 ist da Median (siehe z.B. Buch Seite 26). Das andere ist der Erwartungswert
und gefragt ist bei (b) ja der Median und nicht der Erwartungswert
dj_m.o.h.t.
11-11-2002, 17:30
l...Lamda
Int...Integral
ln...natürlicher Logarithmus
f(x)=l*(e^(-l*t))
F(X)=Int -unendlich bis x l(t) dt
l=1/tau
(a) l=1/6.5
F(X>=5)=1-F(X<=5)=1-1+(e^(-l*5)) => e^(-l *5)=0.463
(b) l=1/6.5
F(x<=k)=0.5
1-(e^(-l*k))=0.5
e^(-l*k)0.5
(-l*k)*ln e = ln 0.5
ln e = 1
-l*k=ln 0.5 => k = (-ln 0.5)/l => k = 4.5
(c) F(X>=8)=1-F(X<=8) = (e^(-l*3))*(e^(-l*5)) = e^(-l*8) = 0.292
...um noch ein bisserl mehr Verwirrung zu stiften meine Lösung zu c)
p(stirbt in den ersten 8 Jahren) = 1-e^(8/6.5) = 0.70793
p(stirbt in den ersten 3 Jahren) = 1-e^(3/6.5) = 0.36968
p(stirbt nicht zw. 3. und 8. Jahr) = 1 - (0.70793 - 0.36968) = 0.66175
...hm, schaut blöd aus, aber ich kann den Fehler in meiner Überlegung nicht sehen...
Original geschrieben von jeuneS2
p(stirbt nicht zw. 3. und 8. Jahr) = 1 - (0.70793 - 0.36968) = 0.66175
...hm, schaut blöd aus, aber ich kann den Fehler in meiner Überlegung nicht sehen... [/B]
...super, mit diese lösung stimmt auch mit meiner überein.
Kuschelmaus
11-11-2002, 22:23
@robbys lösung:
wieso schreibt ma da bei punkt a) 1- 1+ (e...) ???
versteh das nicht.... sollt ja heißen lambda * (e...) oder?
Hallo,
stehe irgendwie daneben, wie kommt ihr bei (a) auf 0,463?
ich komme auch auf den wert 0.463!
@kb23kye
kannst mir bitte die Formel hinschreiben in der du einsetzt?
f(x) oder F(x)
danke
Original geschrieben von jeuneS2
p(stirbt in den ersten 8 Jahren) = 1-e^(8/6.5) = 0.70793
p(stirbt in den ersten 3 Jahren) = 1-e^(3/6.5) = 0.36968
p(stirbt nicht zw. 3. und 8. Jahr) = 1 - (0.70793 - 0.36968) = 0.66175
"Nicht zwischen drittem und achtem Jahr" bedeutet ja aber, daß er entweder in den ersten drei oder nach den ersten acht Jahren stirbt...?
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