BSP 51 - Lösung

[michi204]

Bitte schaut es euch an ob es richtig ist. Ist ein eher leichtes Bsp, wär super wenn jemand die anderen posten könnte :zwinker:



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51) Worum handelt es sich? Gruppoid, HGr, Monoid oder Gruppe?

<M,°>
M={0,1,2,3} m°n=min(mn,3)

Bemerkung: min bedeutet, wenn m·n kleiner 3 ist, dann ist das Ergebnis m·n, ansonsten ist es 3.

Wir untersuchen die 5 Eigenschaften:

G1 Abgeschlossenheit:

für alle m°n aus M: m°n ist ein Element von M


JA
, da jedes Produkt aus Elementen wenn kleiner 3 in M liegt, ansonsten durch
das Minimum 3 gilt, welches ebenfalls in M liegt.


G2 Assoziativität

für alle a,b,c aus M:

(a°b)°c=a°(b°c)

(1°2)°3=1°(2°3)
2°3=1°3
3=3 w. A. =>
JA



G3 Einheitselement


JA
, 0 ist das Einheitselement:
Das Produkt jeder Zahl mit 0 ergibt 0,
das Minimum jeder Zahl mit 0 ergibt ebenfalls 0.
Ist daher in m°n m oder n 0, ist das Ergebnis auch 0:
m°e=e, e=0


G4 Inverses Element

m°n 0 1 2 3 m
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 3
3 0 3 3 3
n
Malt man sich obenstehende Tabelle auf, in der m und n sowie das Ergebnis von m°n
aufgetragen werden, ist die Antwort leicht ersichtlich: Es gibt kein inverses Element.
->
NEIN



G5 Kommutativität

m°n = n°m


JA
- gilt auf jeden Fall, da m·n = n·m -> die Reihenfolge der Operanden hat keinen
Einfluss auf das Ergebnis, auch erkennbar in der Tabelle unter Punkt 4.

[djmaecki]

Ich weiß nicht, ob ich was nicht gechecked hab, aber ich glaub dass G3 nicht erfüllt ist:

G3: es ex. (mind.) ein e \in G, sodass f. a. x \in G
x \ast e = e \ast x = x

Das bedeutet meiner Meinung nach:

m ° e = e ° m = min (m . e, 3) = min (e . m, 3)
aber es soll ja dann wieder m rauskommen!

Somit ergibt sich, dass e = 1. Für m = 0 ... 3 stimmt das Ergebnis, ab m = 4 liefert es aber nur mehr 3.

Und wenn das stimmt, braucht man G4 nicht mehr näher betrachten, da ja G3 nicht erfüllt ist.

Was meint Ihr, stimmt das?

[michi204]

Du hast recht - danke für den Hinweis!! Ich habe aus irgendeinem Grund mit m°e=e°m=e statt m°e=e°m=m gerechnet. Hier die richtige Lösung:



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51) Worum handelt es sich? Gruppoid, HGr, Monoid oder Gruppe?

<M,°>
M={0,1,2,3} m°n=min(mn,3)

Bemerkung: min bedeutet, wenn m·n kleiner 3 ist, dann ist das Ergebnis m·n, ansonsten ist es 3.

Wir untersuchen die 5 Eigenschaften:

G1 Abgeschlossenheit:

für alle m°n aus M: m°n ist ein Element von M


JA
, da jedes Produkt aus Elementen wenn kleiner 3 in M liegt, ansonsten durch
das Minimum 3 gilt, welches ebenfalls in M liegt.


G2 Assoziativität

für alle a,b,c aus M:

(a°b)°c=a°(b°c)

(1°2)°3=1°(2°3)
2°3=1°3
3=3 w. A. =>
JA



G3 Einheitselement


NEIN
, es gibt kein Einheitselement:
Siehe Beitrag von djmaecki (thx!)

G4 Inverses Element

(Braucht man eigentlich nicht zu betrachten, wenn G3 nicht gilt)

m°n 0 1 2 3 m
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 3 3
3 0 3 3 3
n
Malt man sich obenstehende Tabelle auf, in der m und n sowie das Ergebnis von m°n
aufgetragen werden, ist die Antwort leicht ersichtlich: Es gibt kein inverses Element.
->
NEIN



G5 Kommutativität

m°n = n°m


JA
- gilt auf jeden Fall, da m·n = n·m -> die Reihenfolge der Operanden hat keinen
Einfluss auf das Ergebnis, auch erkennbar in der Tabelle unter Punkt 4.



ENDERGEBNIS


Es ist eine abelsche Halbgruppe, da G1, G2 und G5 gegeben sind.

[Buidl]

Also ich würde mal sagen, dass das Einheitselement doch vorhanden ist, da die Menge M={0,1,2,3} enthält und somit ein m>=4 nicht vorkommt.

[max1005]

zu G2:
ein Beipsiel ist kein Beweis, ich bin allerdings auch der Meinung, dass G2 gilt. Aber wie man das beweist: keine Ahnung
=> JA

zu G3:
es gibt doch ein Einheitselemt! denn:
m°e=e°m=m
also
min(me,3)=min(em,3)=m
also, wenn e 1 ist, dann ist min(me,3) m
=> JA

zu G4:
nein, Gegenbeispiel:
m=2, m' müsste dann 1/2 sein
aber 1/2 ist nicht Element unserer Menge M
=> NEIN

das andere habe ich auch gleich.

Ciao, Max

[psycho]

also zu g2 in dem bsp.

ich hab mir gedacht, dass es vielleicht so möglich wäre, das zu beweisen:

man hat m,n,o

also (m°n)°o=m°(n°o)


LS: (m°n)°o :

Fall 1: m°n = mn
Fall 2: m°n = 3

=> (m°n)°o

Fall 1: (m°n)°o = mno (G2 für die Multiplikation vorausgesetzt)
Fall 2: (m°n)°o= 3

RS: m°(n°o) :

Fall 1: n°o = no
Fall 2 n°o = 3

=> m°(n°o)

Fall 1: m°(n°o)=mno
Fall 2: m°(n°o)=3

=> G2 ist erfüllt

also ich hab eh mit * ° gemeint...

[michi204]

Das Einheitselement ist doch vorhanden... hab es heute auch noch mal überlegt... da ja nur 0,1,2,3 erlaubt sind, ist 1 das Einheitselement... leicht ersichtlich aus der Tabelle bei G4..

@max1005 stimmt ein Beweis ist es eigentlich nicht.. aber ich glaube dass es im Falle der Assoziativität sehr unwahrscheinlich ist, dass sie wenn für 3 dann nicht für alle Elemente von M gilt..

lg michi

[Wulfgang]

zu G2 (Assoziativgetz):

1. Glaub nicht, wenn man einfach statt * einen ° und statt a,b,c 1,2,3 einsetzt, die Assoziativität beweisen kann.

m°n = min(m*n, 3)

(a*b)*c = a*(b*c)

assoz soll gelten für m,n,p

min(((min(m*n,3))*p),3) = min((m*(min(n*p,3))),3) hoffe die Klammersetzung ist nicht ganz zu verwirrend, aber so sieht es bei mir ein wenn ich statt m°n =min(m*n,3) einsetzte, wenn man mit werten durchprobiert, ist zwar nicht die schönste art, aber so sollte es eigentlich stimmen. bzw. ist es egal wie man den den ausdruck auflöst, bzw, multiplikation und min sind kommutativ.

[Mystique]

zu G4: Ich könnte nicht beispielsweise 1 für m einsetzen, oder? Ich meine, mir ist schon klar, dass ich dann für m' auch einsetzen müsste um die Bedingung zu erfüllen, aber das kann ich nicht machen, gell?
Mystique

[Mystique]

Ach ja, in der Angabe wird nur verlangt zu wissen, ob es nun ein Gruppoid, eine Halbgruppe, Monoid oder Gruppe ist. Muss man G5 also nachweisen, oder ist das hier überflüssig (weil es ja auf jeden Fall stimmt)?

[Wulfgang]

1. net verlongt
2. stimmts so wieso multi is kommutativ und min is a kommutativ, wos will man mehr :)

[nix_wissen_tu]

Hab ich das nun richtig verstanden, dass BSP 51 eine GRUPPE ist??

THX for info

ÜBRIGENDS: DANKE für die Hilfe, durch das Beispiel hab ichs so halbwegs verstanden - glaub ich jedenfalls!

[max1005]

Also ich würde sagen, dass es ein "kommutativer Monoid" ist, Da ja alle Eigenschaften bis auf G4 stimmen.

Gibt es einen kommutativen Monoid überhaupt?

Ciao, Max

[stonie20]

ja, glaub schon dass es das gibt.

ich würds halt abelsches monoid nennen