Bsp. 76

[ibins]

Wer hat hier schon was????

muss mich mal dazusetzen und das is oft leichter, wenn man schon Ideen hat....

ibins

[JayJay]

wir wissen das <K,+,*> ein Körper ist,
weiters wissen wir einstweilen das alle reellen zahlen und die zahl 1-i in K enthalten sind

wir sollen beweisen das K=C ist
alle elemente der menge C haben die eigenschaft a+bi,
wobei a,b reelle zahlen sind.

nun stellen wir K auch in dieser from dar: a+bi
wobei wir wissen das a element aus R(reelle Zahlen) ist, aber nur dann wenn b=0 ist
und wenn b =-1 ist, dann ist a=1

so, das waren mal feststellungen die sich aus der angabe ergeben
zu beweisen ist also das a,b alle reellen zahlen einnehmen dürfen:


für <K,+> muss die Abgeschlossenheit gelten:
wenn wir eine variable r hernehmen, die soll element aus R sein, also irgendeine reelle zahl, dann mus gelten:
(1-i)+r = r-i ; wobei r-i element aus K ist
das heisst wir dürfen für a irgendeine reelle zahl einsetzen wenn b=0 ist (das geht ja aus der angabe heraus) aber auch wie wir jetzt gezeigt haben, wenn b=-1 ist;
nun das war der 1.schritt, allerdings wollen wir ja auch für b irgendwelche reellen zahlen einsetzen, deshalb folgt
schritt 2:

für <K,*> muss die abgeschlossenheit gelten:
(a-i) + r = (a+r) - ri

da a irgendeine reelle zahl war (das dürfen wir ja wenn wir b=-1 setzen) und r ja auch, wie wir definiert haben, irgendeine reelle zahl ist, wissen wir das a+r irgendeine reelle zahl ist;

und aus -ri entnehmen wir das unser b= -r ist und somit auch auf jeden fall irgendeine reelle zahl

somit haben wir gezeigt, dass a,b irgendwelche reellen zahlen sind und genau das gilt ja auch für die komplexen zahlen, also MUSS gelten:

K = C w.z.z.w


mfg JayJay

[ibins]

cool, so (ähnlich) schaut das, was ich jetzt hab auch aus!!!

[ena]

Ihr habt (1-i)+r= r-i

wo kann ich dann für a eine Zahl einsetzen wenn b=0 ("das geht ja aus der angabe heraus" Zitat)?
Und wie erkennt ma das in der Angabe dass b=0?
und überhaupt wieso wie können "wir" (Verbesserung "ihr) b=-1 setzen?

Kann mir das vielleicht wer so erklären, dass es jemand wie ich der nur Bahnhof versteht morgen an der Tafel so rüberbringt, dass der Prof glaubt, dass ichs versteh...........und dass ichs vielleicht wirklich versteh :shinner: ???

Bitte
lg, ena

[ibins]

ich kann dir das da oben nicht erklären, aber meins kann ich versuchen (mir fehlt aber leider die Mathematische Sprache)

Wir haben gegeben, dass <K, +, *> ein Körper ist und somit <K,+> eine abelsche Gruppe und <K,*> auch, das heißt, für sowohl Addition als auch Mutliplikation im Körper gilt die Abgeschlossenheit.

Wenn nun die komplexe Zahl 1-i und alle Reellen Zahlen im Körper sind, kann man sagen, dass alle Eegebnisse von Addition und Multiplikation zwischen 1-i und R auch im Körper sind. Also alle komplexen Zahlen a+bi

formal

a+bi eK
weil (1-i)*(-b) + (a+b)=a+bi (a,b eR => a,b eK)

a ist der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahlen, daher wird das a nur mit dem 1 und die b nur mit i multipliziert.

glaub, das passt so
hoff, das ist verständlich

ibins

[Noride]

hmm
kann mir mal jemand erklären wieso bei
<K, +> abgeschlossenheit

(1-i)+r = r-i gilt

und

bei <K,*> abgeschlossenheit

(a-i) + r = (a+r) - ri gilt?

[lEn00x]

nach i)
R(reele Zahlen) Teilmenge von K

nach ii)
1-i Element aus K

nach iii) <K,+,*> => Da K ein Körper, müssen + und * abgeschlossen sein (siehe Definition eines Körpers!).

Eine Komplexe Zahl besteht aus R(z) und Im(z).

Da nach i) R Teilmenge von K, kann man alle Zahlen aus R bei ii) beim R(z) einsetzen.

Bsp:
a+a'=0 (wobei a' Invers zu a)
=> (1-i)*(a+a') = 0
= a-ia-ia'+a' = 0
=(a+a')-(ia+ia') = 0
=0-0 = 0 => Wahre aussage

[Noride]

ok

jetz hab ichs auch kapiert

thx

[JayJay]

da ich darum gebeten wurde das bsp noch mal zu erklären und vorallem genauer werd ich dies nun versuchen:

also :
<K, +>
da es sich um einen körper handelt (siehe angabe) muss die abgeschlossenheit gelten:
was ist die abgeschlossenheit ?
man verknuepft nach der vorgegebenen rechenvorschrift (in unserem fall ist das '+') zwei elemente, die beide in der vorgegeben menge ( hier 'K') vorkommen und am ende sollte dann wieder etwas rauskommen das in der menge K enthalten ist.

so,
nun wissen wir bei uns da es sich um einen körper handelt das die abgeschlossenheit mit der rechenvorschrift '+' auf jeden fall gilt, dh wenn wir irgendwelche zwei elemente aus der menge K mit einander addieren muss das ergebnis wieder in der menge K sein
nehmen wir irgendwelche 2 elemente aus der menge K:
1-i ....... siehe angabe
r1 ...... irgendeine reelle zahl (da ja R teilmenge von K ist)
nun addieren wir sie miteinander :
(1-i) + r1
r1 muss zum realteil addiert werden :
(1+r1)-i .......das ist die zahl die wir aus der addition erhalten
diese zahl MUSS element der menge K sein, da eben die abgeschlossenheit gilt.

nun machen wir das ganze nochmal aber diesmal für die multiplikation : <K, *>
auch hier muss die abgeschlossenheit gelten (weil K ein Körper ist)
nehmen wir nun wieder irgendwelche zwei zahlen aus K :
(1+r1)-i .... wir haben grad vorhin bewiesen das das element aus K ist
r2 ....... irgendeine reelle zahl ( da R teilmenge von K ist; r2 kann aber muss nicht gleich r1 sein)
nun multiplizieren wir die beiden zahlen miteinander und wir wissen eines: das was rauskommt ist wieder ein element aus K da ja die abgeschlossenheit gilt:
[(1+r1)-i] * r2
r2 wird sowohl in den realteil alsauch in den imaginärteil hineinmultipliziert:
(r2+r1*r2) - r2i

nun was sehen wir hier :
der realteil : r2+r1*r2
da r1 und r2 irgendwelche reellen zahlen sind, wissen wir das man für den realteil von K irgendeine reelle zahl einsetzen kann

der imaginärteil: r2i
r2 ist ja auch irgendeine reelle zahl, es koennte zwar die selbe wie im realteil sein aber muss es nicht

also können wir nun etwas allgemeiner werden:
wenn wir allgemein haben:
a+bi dann sehen wir das für die menge K gilt :
a, b dürfen irgendwelche reellen zahlen sein
und GENAU diese eigenschaft haben alle complexen zahlen
und somit ist bewiesen das
K = C


mfg JayJay

[JayJay]

das haettest du nicht etwas frueher posten koennen oder
:hewa:

mfg JayJay

[Noride]

@JayJay

danke für die mühe