Bsp.45

[ibins]

Das ist ja ein besonders dummes Beispiel - wie mach ich die vollständige Induktion bei Ungleichungen????
Sie gilt bei mir übrigens ab 3.

Für Tipps bin ich dankbar

ibins

[Frank]

Jup, für alle n>=3. und natürlich den Induktionsstart. Und ist es nicht egal ob es eine Ungl. ist oder nicht?

LG Frank

[JayJay]

n>=3 hab ich auch

mfg JayJay

[lEn00x]

>=3 kommt bei mir auch raus.
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich die Induktion durchführen soll.

[ibins]

der Induktionsstart ist 3

und ich hab dann versucht, die Gleichung so unzuformen, dass die Elemente Gleichung für n+1 drinnen vorkommen, dann kann man (laut meiner Rechenhilfe ;)) einiges weglassen, ohne dem die Ungleichung noch immer stimmt.

ibins

[Acid]

hi leute!

also n >= 3 hab ich auch... für 0 müsste es auch gelten, oder?
das hab ich mal als annahme durch ausprobieren genommen und versucht, das so zu beweisen:
n>=3

3n <= 3^n - 2^n // hab die gleichung umgeformt, um zu zeigen, dass 3n immer kleiner ist als d. differenz v. 3^n - 2^n
das gilt, wenn ich 3 (also den induktionsstart) einsetze.
(3*3 <= 3^3 - 2^3)
(9 <= 19) --> w.A.

dann für n+1:
3(n+1) <= 3^(n+1) - 2^(n+1) // n+1 = 3 + 1 =4
3*4 <= 3^4 - 2^4
12 <= 65 --> w.A.

dh. 3n ist immer kleiner als die differenz von 3^n - 2^n.....

geht DAS als Beweis durch.....??????????

mfg, max

[Sebi]

ich habe das genialst bewiesen, nur leider erhalte ich dann als ergebnis ach 1 und 2... hähä, was ja offensichtlichst falsch ist.... :(

habe jetzt einen etwas hängenden beweis.... ich ersetze links durch (n+1), und mache aus 2^(n+1) 2^n*2, oder auch 2^n+2^n, auch so für das 3^(n+1)...

naaaja, und nun kann ich die linke seite umformen, dass ich wieder das vom anfang (also 3n+2^n) plus nochwas (3+2^n) habe, das kleiner sein soll als 3^n+3^n+3^n!

haha, induktion, ich ersetze das 3n+2^n durch 3^n, weil ich ja davon ausgehe, dass das kleiner ist als 3^n (induktionsvoraussetzung), und habe nun dass 3^n+2^n+3<= 3^n+3^n+3^n

nun vergleiche ich einfach jeweils einen summanden von links mit einem von rechts,.. und siehe da, es stimmt.
nur:
muss ich halt von n>=3 ausgehen, und die katze beißt sich in den schwanz, oder?

ich weiß leider auc nicht so genau
sebi

[webhornet]

Original geschrieben von Acid
geht DAS als Beweis durch.....??????????
mfg, max

Nein. Der Beweis muss für ein allgemeines n und n+1 gelten.

z.z. 1 + 2 + ... + n = (n + 1) * (n&nbsp;/ 2) f. a.&nbsp; n e N

(1) n = 2: 1 + 2 = 3 * 2 / 2 w.A.

(2) Annahme es gilt für n, dann muss es auch n+1 gelten

also:

1 + 2 + ... + n + n+1 = (n+2) * (n+1)/2

der Ausdruck "1 + 2 + ... + n + n+1" ist ja wie oben ersichtlich gleich dem ausdruck "(n+1)*(n/2)" d.h.

(n+1)*(n/2)&nbsp;&nbsp; + n +1 = (n+2) * (n+1)/2

(n+1)*((n/2) + 1) = (n+1) (n+2)/2

division durch (n+1)

n/2 + 1 = n/2 + 2/2

d.h. allgemein für alle neN gültig

qed

&nbsp;

(hoffentlich is da jetzt kein fehler drinnen... is mir nur gerade so eingefallen)

[Shine]

hm webhornet des is owa net des beispiel mit da ungleichung
mfg

[FMs]

Ich habs mit dem vom Sebi weiter probiert, das ganze umgeformt, den LOG angewendet, bin dann auf
n >= (log 3 + log3 +log 2)/log3 gekommen, das ausgerechnet gibt 2,63 - > nur ganze Zahlen, daher muss n >= 3 sein....


das <= wird ja zum >= wenn man durch n dividiert....oder habe ich das falsch in erinnerung......?

[webhornet]

i know... wollte nur für Acid die vollständige induktion erklären

[Mario]

Original geschrieben von Sebi

haha, induktion, ich ersetze das 3n+2^n durch 3^n, weil ich ja davon ausgehe, dass das kleiner ist als 3^n (induktionsvoraussetzung), und habe nun dass 3^n+2^n+3<= 3^n+3^n+3^n

Kann man das so einfach ersetzen? Es hießt ja nicht gleich sonder kleiner oder gleich.

Kann man nicht sagen, ok, für die Voraussetzung gilts, jetzt schaun wirs uns für den Rest an?

Kenn mich nicht aus, aber kommt mir ned logisch vor.

[Shine]

wenn ich mal meine Ideen zu dem Beispiel posten darf:
also wir hatten 3n + 2^n <= 3^n
durch Einsetzen erkennen wir mal, dass es ab 3 stimmen sollte,
3*3 + 2^3 <= 3^3
9 + 8 <= ^27
17 <= 27 w.A.
Also ist meine Induktionsbehauptung, dass es für n >= 3 stimmt. Also führe ich jetzt den Schluss von A(n) auf A(n+1) durch, heißt (n+1) für n einsetzen.
Damit haben wir ja
3*(n+1) + 2^(n+1) <= 3^(n+1)
--- Umformen
3n + 3 + 2^n*2 <= 3^n*3
--- Annahme der Identität, Ich nehme ja an, dass 3n + 2^n <= 3^n wahr ist, also müsste auch das ganze mit 3 multipliziert stimmen also 3*(3n + 2^n) <= 3^n*3
damit steth auf der rechten Seite das gleiche wie bei der obigen Ungleichung, also ergibt sich eine weitere Ungleichung
3n + 3 + 2^n*2 <= 3*(3n + 2^n) <= 3^n*3
--- der rechte Teil muss ja nach der Annahme wahr sein, also muss nur mehr die linke Seite eine Wahre Aussage liefern..
--- ausrechnen
3n + 3 + 2^n*2 <= 9n + 3*2^n
--- umformen
3 <= 6n + 2^n
--- für n > 0 sind sowohl 6n als auch 2^n positiv -> wird Ausdruck größer für n=1 ist 3 <= 8 w.A.

Das ist meine Lösung, ob's stimmt, ma kann's hoffen
mfg Syv

[buechsengustel]

zitat shine:

--- Annahme der Identität, Ich nehme ja an, dass 3n + 2^n <= 3^n wahr ist, also müsste auch das ganze mit 3 multipliziert stimmen also 3*(3n + 2^n) <= 3^n*3
damit steth auf der rechten Seite das gleiche wie bei der obigen Ungleichung, also ergibt sich eine weitere Ungleichung
3n + 3 + 2^n*2 <= 3*(3n + 2^n) <= 3^n*3


ähhm, ich denke, nur weil man weiß, dass sowohl dein "mittlerer" teil und dein "linker" teil BEIDE KLEINER GLEICH dem rechten teil sind, kann man noch nicht wissen, welcher von denen der kleinere ist...

ich weiß, wenn ichs mit zahlen einsetzen probiere, merk ich auch, dass es wohl stimmt, aber um was zu beweisen?

weiß nicht, ob ich mich da irre...

[JayJay]

also als ich die ungleich :
3(n+1) + 2^(n+1) <= 3^(n+1)
gsehen hab, war mir auch sofort klar das das für alle n>=3 gelten muss,
denn es wird von mal zu mal deutlicher
und bei dir ists am ende auch nicht viel anders:
man kann sagen: 3 <= 6n + 2^n
ist bei n >= 3 von mal zu mal deutlicher richtig also muss es ja stimmen, aber dies wird wohl als beweis ned gelten;
das was du gemacht hast sieht fuer mich eher nach ner umformung aus, denn am ende wissma eigentlich noch genauso viel wie am anfang

mfg JayJay

[mali]

meine lösung geht wie das:
1. n=3
3*3+2^3<=3^3
17<=17
das stimmt
2. wir nehmen an das Ausage für n=k richtig ist
3k+2^´k<=3^k
3. wir nehmen das Ausage für n=k+1 auch richtig ist
3(k+1)+2^(k+1)<=3^(k+1)
3k+3+2*2^k<=3*3^k
(3k+2^k)+3+2^k<=3*3^k

wir wissen schon das
3k+2^k<=3^k
ist dann
3^k+3+2^k<=3*3^k
3+2^k<=2*3^k

jetzt sollten wir überprüfen das für k>=3
1. k=3
3+8<=2*27 das stimmt
2. k=m
3+2^m<=2*3^m
3. k=m+1
3+2*2^m<=2*3*3^m
3+2^m+2^m<=2*3*3^m
wir schon wissen das
3+2^m<=2*3^m
ist dann ist
2*3^m+2^m<=2*3*3^m
2^m<=4*3^m
was ist richtig für jede m>=3 deshalb diese Ungleichung richtig ist
d.h 3+2^k<=2*3^k richtig ist und deshalb 3k+2^k<=3^k auch richtig ist