Beispiel 25

[max1005]

Folgende Überlegung:

1) cartesisches Koordinatensystem zeichnen (siehe Beispiel 23)
2) alle Punkte/Relationen einzeichnen für die gilt "A 'symmetrische_differenz' B = A" und "A, B 'element_von' P(M)"
meiner Ansicht nach sind das nur die, bei denen B die leere Menge ist?
3) keine Äquivalenzrelation, da
3.1) Reflexifität nein
3.2) Symmetrie nein
3.3) Transitivität ja (?)

Hat jemand Ähnliches herausbekommen?

Ciao, Max

[ferdo]

hmm vielleicht lieg ich falsch, aber ich hab ma dacht, wenn A=B dann ist A sym.dif B = {}

weil leere menge ist die sym.dif. dort wo sich die beiden schneiden, und wenn sie ganz übereinander liegen (also A=B) dann gibts keine sym.dif. (also {})

hmm....

bin ich jetzt richtig an oder nicht ???

wenns so ist, wie ich glaub, dann ist es eine Äquivalenzrelation

[gecko]

Die symetrische Differenz setzt sich aus den Elementen zusammen, die in A aber nicht in B liegen und umgekehrt, d.h nicht in der Schnittmenge enthalten sind. Sind die Elemente in der Schnittmenge dann ist die sym. Differenz die {} Menge, siehe Buch (Baron) S 4 unten bzw. S 5 oben.

[Superwinki]

Entspricht die leere Menge { } der Nullmenge (die durchgestrichene 0). Dann wär das verständlich und auch irgendow logisch. Wenn ich was von A abziehe kann es nur A bleiben, wenn ich nichts abziehe.

Nur wie mach ich dann weiter?

[Mystique]

Bei dieser Nummer bräuchte ich auch Hilfe, verstehe nämlich überhaupt nicht, was ich da überhaupt machen soll.
Mystique

[ferdo]

SORRY !

is mir erst jetzt aufgfallen durch an freund !

ich hab nummer 25 mit 24 verwechselt

A symm.diff. B = A is richtig sprich B={}

sorry nochmal ...

[ferdo]

also hab ich des rausbracht

keine reflex.
ARA => A sym.dif A = {}

symmetrie
ARB => BRA
A sym.dif. {} = A
{} sym.dif. A = A

keine trans.
ARB & BRC => ARC
zB
{0} s.d. {} = {0}
{} s.d. {1} = {1}

aber {0} s.d. {1} = {0,1}



kann des so stimmen ??

[Meph|sto]

@ferdo:
hab das im grunde gleich wie du.
allerdings denke ich dass die transitivität auch erfüllt ist.
einfach in die definition einsetzen:
auf der linken seite muss sowohl
A R B
als auch
B R C
gelten.
Sei B = {}, dann gilt A s.d. {} = A für alle A.
somit muss auch C = {} sein, damit B s.d. C = B ist (also {} s.d. {} = {}). Wenn C = {1} wäre, würde B s.d. C = {1} ergeben, und das ist ungleich B also liegt es nicht in der Relation.
wenn man jetzt auf der rechten Seite der definition einfach A und C einsetzt kommt man zu folgendem Ergebnis: A s.d. {} = A, und damit wäre es erfüllt.

der punkt bei dem ganzen ist, dass bei X s.d. Y das Y immer die leere Menge sein muss, damit X rauskommt. also kann man für C nix anderes als {} einsetzen sonst klappts nicht.

hoffe das ist irgendwie verständlich.. ist ja auch ein seltsames beispiel, da gehts echt nur ums genau einsetzen in die definitionen ;)
falls ich irgendwo einen denkfehler gemacht hab, bitte sagen.

kleiner nachtrag: die symmetrie scheint doch nicht zu gelten.
Definition Symmetrie: A R B => B R A
linke seite:
sei B = {}
A s.d. {} = A
rechte seite:
{} s.d. A = A
=> sollte aber B, also {} rauskommen damits stimmt.
somit ist die Relation nicht reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv.

[ferdo]

ja wenn man des so überdenkt, musst du eigentlich recht haben !

somit schliess ich mich deiner meinung an !!!

[Wulfgang]

Hier gilt gar keine Eigenschaft:

Die Relation soll genau dann gelten, wenn AsymDifB = A!!

Reflexivität:
A!= leereMenge
AsymDifA=leere Menge != A => nicht reflexiv

Transitivität:
Gilt nicht wenn A,B != leere Menge, wenn man hier irgendwelche Menge einseztz kommt man nie auf AsymDifB= A und BsymDifB = A => nicht transitiv

Identität:
Gilt nicht wenn A,B,C != leere Menge, denn AsymDifB=A und BsymDifC=A => AsymDifC = A. Hier kann man auch beliebige Mengen einsetzen und die Relation stimmt nicht.

Nur bei einer Bedingung stimmt die Relation, wenn die Menge = leere Menge sind.

Hoffe es is korrekt :)

[Meph|sto]

@wulfgang:
identität hättest du gar net zeigen müssen, dafür fehlt bei dir die symmetrie (es geht um eine äquivalenzrelation, nicht um eine halbordnung! ;))

mein gedanke bei der transivität war der:
definition: (aRb & bRc) => aRc
d.h. doch eigentlich, dass man in die linke hälfte so einsetzen muss, dass sie wahr ist - und die folgerung auf der rechten seite muss dann aufgrund dieser wahren annahme auch stimmen.
wenn die linke seite nämlich NICHT stimmt, dann kann man gar nix zeigen. zumindest im mathematik grundkurs hat er uns das so erklärt wenn ich mich recht erinnere ;)
und WAHR wird die linke seite eben nur, wenn man als B und C die leere Menge einsetzt.
und genau dann stimmt auch die folgerung auf der rechten seite, also stimmt die implikation....

kann sein dass ich langsam schon ziemlich verwirrt bin, aber irgendwie denk ich mir dass es wohl so sein müsste.
aber ob ich das beispiel wirklich angeb weiß ich nicht... beim baron ist das ziemlich riskan. ;)

[Wulfgang]

Hab mich verschrieben statt Identität meine ich Transitivität und Transitivität die Symmetrie!

Mein Überlegung war: ich soll doch zeigen ob die Transitivität gilt, wenn ich von der Angabe ausgehe gilt die relation ARB genau dann, wenn AsymDifB=A, wenn ich das auf die Transitivität übertrage, muss ich zeigen dass AsymDifB =A & BsymDifC = A => AsymDifC = A. Das gilt meiner Meinung nach nur, wenn man alle drei Mengen die leere Menge sind.

Hoffe meine Überlegung stimmt, aber dieses Bsp ist auch ein wenig verwirrend!!!!! :(

[Mr. Zet]

@ meph|sto

kleiner nachtrag: die symmetrie scheint doch nicht zu gelten.
Definition Symmetrie: A R B => B R A
linke seite:
sei B = {}
A s.d. {} = A
rechte seite:
{} s.d. A = A
=> sollte aber B, also {} rauskommen damits stimmt.
somit ist die Relation nicht reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv.



kannst du mir bitte erklären, warum B rauskommen muss damit es stimmt? :confused:

[Mr. Zet]

Original geschrieben von Wulfgang
...
Mein Überlegung war: ich soll doch zeigen ob die Transitivität gilt, wenn ich von der Angabe ausgehe gilt die relation ARB genau dann, wenn AsymDifB=A, wenn ich das auf die Transitivität übertrage, muss ich zeigen dass AsymDifB =A & BsymDifC = A => AsymDifC = A. Das gilt meiner Meinung nach nur, wenn man alle drei Mengen die leere Menge sind.



da hast du schon recht, aber es gibt keinen Fall, für den AsymDifB =A & BsymDifC=A gilt, aber nicht AsymDifC=A

-> Da AsymDifB =A & BsymDifC=A in dem einzigen Fall gilt, in dem A,B,C = {}, und genau dann AsymDifC=A sehr wohl gilt, ist die Transitivität vorhanden
;)

[Meph|sto]

@ Mr. Zet

B sollte deshalb rauskommen, weil unsere Relation R so definiert ist: A s.d. B = A
es soll also der linke "Operand" rauskommen.
in unserem Fall haben wir:
{} s.d. A = A
^^
B

es kommt also der rechte operand raus.

- es geht im Endeffekt net darum, was "rauskommt", sondern darum dass es eine wahre aussage ist. die aussage ist "das geordnete Paar <{},A> liegt in der Relation R", und das stimmt nicht (ausser A ist zufällig auch die leere Menge).

wir haben hier keine gleichung, sondern eine folgerung, das ist was ganz anderes! geht halt nur um WAHR oder FALSCH...

Klingt alles mörderkompliziert, ist es aber gar net so.
Einfach im karthesischen koordinatensystem aufzeichnen und dann sieht mans. symmetrie heißt, dass mans um die diagonale spiegeln kann - und das ist nicht der fall.

ich hoff du verstehst worums geht, ich tu mir schon schwer genug mir die dinge selber verständlich zu machen ;)

[Mr. Zet]

hmm, dass es nicht symmetrisch ist, ist anhand des cart. Koordinatensystems ja eindeutig... aber ich glaube ich verstehe worauf du hinauswillst.