Bsp. 16

[Ekimus]

Hab mir folgende Lösung ausgedacht:

(A x B) vereinigt (A x C) = A x (B vereinigt C)

A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 4, 5}
C = {3, 4, 5, 6}

*rechnen*

(A x B) vereinigt (A x C) = {<3,3> <3,4> <4,3> <4,4>}
A x (B vereinigt C) = {<3,3> <3,4> <4,3> <4,4>}

dh

<a,b> = k (nur "k" damit nicht mit kreuzt "x" verwechselt wird)

a ist Element von A B und C
b ist Element von A B und C
k ist Element von A x B
k ist Element von A x C
k ist Element von A x ( B vereinigt C)

damit ist's bewiesen oder muss ich dass ganze so machen dass Trippel (wie auch immer man das richtig schreibt) rauskommen und keine Tuppel um es korrekt zu beweisen?

[VipertheSniper]

Ne ne... sollten schon tuppel rauskommen das passt schon...
sind die Mengen angegeben?? oder muss man sich die selber ausdenken, wie in bsp. 1 - 9??
Ich nehme mal zweiteres an... hab mir die Angabe ja noch nicht angesehen...
Sind sonst noch irgendwelche Vorgaben, weil mit den Mengen die du gewählt hast kann man viel beweisen, die schaun schon sehr nach sonderfall aus... also gibts irgendwelche Beschränkungen welche oder wieviele Elemente in der Menge sein sollen, und müssen die in irgendeiner Beziehung zu einander stehen... ich mein bei deinen Mengen hast du ja nur jeweils vorn ein Element weggenommen und hinten eins dazu gegeben das zufällig noch immer 3 Zahlen von der ersten Menge noch in der zweiten Menge sind etc...
naja.. ich werd mir das Bsp am Montag vorknöpfen.

Mir is grad aufgefallen das dir in der ersten Menge ein paar karthesische Produkte fehlen.. alle mit der 2.... müssten auf jeden Fall drin sein... glaub ich....

Also ehrlich gesagt glaub ich nicht das diese Behauptung stimmt die da angegeben ist...

proove me wrong....

letzer Edit für heute: hab was übersehen.. also muss a element von A B und C sein damit ich das karthesische Produkt von A und B bilden kann?? Nein... es muss nur Element von A und B sein... natürlich kann man das jetzt so annehmen. aber im Moment bin ich mir nicht mal sicher ob a (od. b) überhaupt in den Mengen fürs karthesische Produkt drinnen sein muss damit man es bilden kann.... also ich denke da... wenn A={1} und B={7} das ich ja trotzdem das karthesische Produkt bilden kann.. AxB <1,7> und BxA <7,1>.... also ich würde mir das Beispiel auf jeden Fall nochmal anschauen... anstatt die Element so einzuschränken das es auf jeden Fall stimmt... ein Beweis muss ja allgemein gelten und nicht nur für einen Fall.

[Ekimus]

Sorry hatte mich bei der Angabe vertan habs oben nochmal korrigiert. Werds aber mit anderen Mengen nochmal durchrechnen um zu sehen ob es funktioniert

[Ekimus]

Habs nochmal durchgerechnet und zwar mit folgenden Zahlen:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 5, 7, 9}
C = {1, 2, 5, 7}
Habs nur kurz durchgerechnet und es kommt raus

{ leere Menge } = { <5,5>}
Was sagt mir das? Was beweis ich jetzt mit den Folgerungen im ersten Beitrag komm ich darauf das die Ausssage FALSCH ist. Stimmt das so?

[VipertheSniper]

Übrigens... die Angabe jetzt ist von Beispiel 15... aber egal

schon mal so probiert?:
A={a1,a2}
B={b1,b2,b3}
C={c1,c2,c3,c4}

AxB u AxC = {<a1,b1>,<a1,b2>,<a1,b3>,<a2,b1>,<a2,b2>,<a2,b3>,<a1,c1>,
<a1,c2>,<a1,c3>,<a1,c4>,<a2,c1>,<a2,c2>,<a2,c3>,<a2,c4>}
A x (BuC) = AxB u AxC... <-- möchte den ganzen schas von oben nicht nochmal schreiben.... aber du musst jedes Element mit jedem "kreuzen"... also stimmt die Aussage... die Elemente in A müssen nämlich nicht auch in B und C vorkommen.... brauchst nur im ersten Band von Einführung in Mathe für Infler reinschauen... Seite 5... jedes Element wird mit jedem gekreuzt... und da dann bei A x (BuC) alle Elemente von B und C in der zweiten Menge sind bekommst du das selbe Ergebnis wie auf der linken Seite... die Aussage für Bsp. 15 ist wahr... nur leider haben wir Bsp. 16 auf... aber wie du siehst ist es nicht so schwer wie es aussieht...
Das sollte auf jeden Fall analog gehen nur das in Bsp 16 die Schnittmengen gefragt sind und nicht die Vereinigungsmengen... sollte aber, wenn ichs so betrachte auch eine wahre Aussage sein bei 16... allerdings muss man dort Zahlen nehmen und nicht a1 b1 und so... sonst kann man nämlich keine Schnittmengen bilden... wollte mit a1 b1 etc nur veranschaulichen das es beim karthesischen Produkt nicht draufankommt ob die Elemente der Mengen in beiden Mengen vorkommen...

Also Bsp. 16

A={1,2}
B={3,4,5}
C={6,7,8,9}

Beh.: AxB n AxC = Ax(BnC)

AxB={<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,<2,4>,<2,5>}
AxC={<1,6>,<1,7>,<1,8>,<1,9>,<2,6>,<2,7>,<2,8>,<2,9>}
AxB n AxC = {leere Menge}
da BnC leere Menge kommt auf der rechten Seite auch eine leere Menge raus.
wenns BnC keine leere Menge ist... sollte auch die linke Seite keine sein UND das selbe Ergebnis liefern wie die rechte Seite... ALSO die Behauptung ist wahr... und ich denke auch bewiesen...

[Deep Thought]

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 5, 7, 9}
C = {1, 2, 5, 7}
Wie kann man diese Angabe kurz durchrechnen, wenn AxB und AxC je 20 Elemente haben und A x (B DURCHSCHNITT! C) noch 10 also insgesamt 50 Elemente ergeben?
Meiner Meinung nach ist die Behauptung richtig und das zeige ich mittels Diagramm...

[VipertheSniper]

Nehmt kleinere Mengen... für ein Beispiel reichts ja auch wenn ihr nehmt
A={0,1}
B={2}
C={leere Menge}

mucho Zeitersparnis... und das Ergebnis ist trotzdem das die Behauptung wahr ist...
Ihr macht es euch immer komplizierter als es ist...

Schönes Diagramm... nur weiss ich nicht ob das als Beweis gilt (also die Venn Diagramme gelten ja nicht)... stimmen tuts auf jeden Fall...

[Ekimus]

Also reichts so wie ich es im ersten Beispiel gemacht hab?

Muss mir dass mit zweite nochmal genauer anschauen, da ich in Mathe nicht so den Durchblick hab, werd ich noch eine ganze Menge Arbeit mit der VO haben so wie ich das sehe.

[VipertheSniper]

Ja... wenn du das karthesische Produkt richtig bildest reicht es...

Die Bedingungen (a Element A,B,C) sind unerheblich, weil es stimmt eh immer.

[Ekimus]

@Deepthought

hast recht das mit kurz durchrechnen war wohl nix, aber ich wollt halt ein Beispiel mit Mengen wo die Elemente nicht so "schön der Reihe nach" sind. Aber das Bsp von Viper mit a1 b1 usw find ich gut schaut so schön allgemein aus. Gefällt mir besser

[VipertheSniper]

hehe @ mmartin.... allgemein ja... aber wennst Schnittmengen brauchst kannst das vergessen... ausser du sagst meinetwegen a1, a2, b3, c4 element A, B, C dann kannst noch immer die Schnittmengen bilden... und es schaut noch immer schön allgemein aus

[Crow]

Hi, also ich hab mir das Bspe gerade angeschaut, ich finde man setzt für die Menge A irgendwelche Werte ein (a,b)

Bei Menge B und C sollte man darauf achten dass sie nicht gleich sind. Dass wär dann auch schon die Lösung :idea: .

Denn ich habe für B=c,d und für C=e,f eingesetzt.

Daher ist der zweite Teil der Formel schon mal 0. Denn BnC ist ja dann 0. Und der erste Teil natürlich nicht.

Also falsche Aussage.

Der Eigenthaler will ja eh immer ein Gegenbeispiel.

[Crow]

Hi, also ich hab mir das Bspe gerade angeschaut, ich finde man setzt für die Menge A irgendwelche Werte ein (a,b)

Bei Menge B und C sollte man darauf achten dass sie nicht gleich sind. Dass wär dann auch schon die Lösung :idea: .

Denn ich habe für B=c,d und für C=e,f eingesetzt.

Daher ist der zweite Teil der Formel schon mal 0. Denn BnC ist ja dann 0. Und der erste Teil natürlich nicht.

Also falsche Aussage.

Der Eigenthaler will ja eh immer ein Gegenbeispiel.

Aber dass mit dem Äquivalenzrelationen habe ich noch nicht ganz verstanden (oder überhaupt angeschaut)

hat schon wer was?

mfg crow

[ibins]

hm, ich glaube, nur wenn man ein konkretes Beispiel ausrechnet, ist damit die Sache noch nicht bewiesen. Beweise müssen doch allgemein sein, widerlegen kann man es jedoch mit einem Beispiel...

ibins

[ibins]

ich gehe davon aus, dass es wahr ist...

[VipertheSniper]

lol @ crow... auch auf der linken seite steht die leere Menge mit deiner angabe... also ist die Aussage wahr und nicht falsch... (und bitte schreibe leere Menge, od. LM von mir aus aber nicht 0, weil mit 0 kann ich noch immer super ein kart. Prod. bilden... <a,0> <b,0>
Oder täusch ich mich wenn ich sage AxB also {<a,c>,<a,d>,<b,c>,<b,d>} GESCHNITTEN mit AxC also {<a,e>,<a,f>,<b,e>,<b,f>} auch eine leere Menge gibt... genau wie Ax (BnC)
Also ich seh keine gemeinsamen elemente auf der linken Seite die in einer Schnittmenge sein könnten
Aber du kannst mir sicher sagen wieso auf der linken Seite keine leere Menge steht...

Die Angabe ist ja AxB n AxC = Ax(BnC)... steht zumindest bei meinen Übungsbeispielen... und ich glaub ich hab keine anderen als ihr... ;)

@ ibins.... widerlegen?? Das Beispiel möcht ich sehen...
Hats eigentlich schon wer mit den charakteristischen Funktionen versucht? Weiss zwar nicht wie man dann das kart. Produkt bildet, aber ich bin jetzt auch zu faul nachzuschauen....
Aber ich denke das sollte nicht so schwer sein, allerdings sicher mehr Schreib- und Denkarbeit...

[Crow]

@sniper

ja du hast leider recht, keine ahnung was ich da heute mittag gerechnet habe. :rolleyes:

Aber auch ich bin mir sicher :tongue1: dass du mir erklären kannst wie dieses Bsp. dann funktioniert.

Aber bitte mit einfachen Mitteln, ich meine nicht soo kompliziert. :shinner:

mfg crow


(P.S. Ich hab jetzt keine zeit mehr aber sooo schwer kann dieses Bsp. doch nicht sein, womit ich nicht sagen will dass ich es lösen kann. ;) )

[ibins]

@VipertheSniper

...natürlich glaub ich nicht, dass man dieses Beispiel widerlegen kann, da hab ich mich wohl schlecht ausgedrückt. Ich meinte, wenn man etwas widerlegen will, reicht ein Beispiel, wenn man etwas beweisen will, sollte man jedoch allgemein vorgehen.

ibins

[Nucle]

Also ich hab das so gerechnet :

A = {1,2}
B={2,3}
C={1,2,3}

1.)
(AxB)
{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}

(AxC)
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

(AxB)n(AxC)
{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}n{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1) ,(2,2),(2,3)}
={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}

2.)(BnC)

{(2,3)}

Ax(BnC)
{(1,2)}x{(2,3)} = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}


3.) Vergleich:

{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)} = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}

Aussage ist wahr

Das is mein ergebnis -> Ist das so richtig ?

[Alex_K]

naja du gibts ja auch nur ein beispiel an das war ist.
und ich glaube das ist noch nicht genug um es zu beweisen.

[Sebi]

Wie wir das mit char. Funktionen gemacht haben: A x B : Chi A(a) * Chi B(b)
[die Großbuchstaben jeweils als indizes, damit wir wissen woraus a und b sind]

d.h wir multiplizieren 2 (versch.) char. Funktionen, in die wir je 2 versch. Werte einsetzen.

Auch wenn wir die SChnittmenge errechnen wollen, benützen wir die char. Funktionen, jeweils setzen wir da jeweils den selben wert ein.
Auf der linken Seite stünde jetzt:
(Chi A(a) * ChiB(b)) gesch. (Chi A(a) * Chi C(c))
das kann man jetzt aber nicht einfach ausmultiplizieren, (also für das geschn. ein * einsetzen), weil sonst erhielte man doch Tripels, und keine Tupels mehr.

Also wie das über die char. Funktionen gehen soll weiß ich nicht.

was ich halt sch** finde ist, dass wenn man sich das anschaut, es doch klar ist dass es richtig sein muss:
Auf der linken Seite erschaffe ich 2 geordn. Mengen mit jeweils <a,x>, wobei x aus b oder c sein kann., also <a,b> und <a,c> wenn ich das jetzt vereinige steht dort <a,d>, wobei d einfach alle elemente b,c sind, die in B und C vorkommen....
auf der rechten Seite drehe ich den VOrgang nur um, suche mir zuerst die d's und schreibe dann vor jedes d ein a....

und wie erklär ich das mathematisch?

sebi

[Crow]

Hat schon wer eine Lösung für dieses schei** Beispiel?

mfg

[Ekimus]

Ich denke meine (erster Beitrag) passt schon weil bei Bsp. 21 kann ich auch mit probieren beweisen ob es stimmt oder nicht.

[Crow]

Ja aber so wies ibins gesagt hat, ein Beispiel gilt nur als Beweis falls die Aussage dann falsch ist.

Ich schei** drauf.

Wie siehts überhaupt mit Bsp. 26 aus, da meldet sich garniemand.

[Shine]

Also ich hab das Beispiel mittels "Tabellen" gelöst

chi(A) chi(B) chi(C) chi(AxB) chi(AxC) chi(AxB)nchi(AxC)=Linke Seite
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1

eigentlich müsste man chi(A) = 0 nicht betrachten, weil da sowieso leere Menge rauskommt, aba zur veranschaulichung (Übrigens n steht vür den Durchschnitt)


chi(A) chi(B) chi(C) chi(BnC) chi(Ax(BnC)=Rechte Seite
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1

sorry, dass man das nicht besser lesen kann, müsst's halt nach spalten gehen!
Da die Zahlen in der linken und Rechten Seite gleich sind, heißt das, dass diese Aussage (AxB)n(AxC) = Ax(BnC) korrekt ist
Übrigens zum Überlegen:
Betrachten muss man ja sowieso mal nur die x (als erstes Element des Paars), die in A drinnen liegen. Jetzt stellt sich nur mehr die Frage, ob es einen Schnitt zwischen den Mengen B und C gibt oder nicht. Wenn nein, is auf der rechten Seiten nie ein Element für das Paar vorhanden -> Leere Menge.
Gibt es einen Schnitt, sind natürlich nur die Paare in beiden Mengen AxB und AxC enthalten, wo das y (also 2. Element des Paares), in B und in C liegt. -> nur die letzte Zeile in der Tabelle enthält lauter 1.

hoffe das passt so und is auch schlüssig..
mfg Syv

[bastian]

Hallo,

mein bescheidener Beitrag (Gemeinschaftsarbeit):

(AxB) geschn. (AxC) = A x (B geschnitten C)

Chi AxB (<a,b>) = Chi A(a) * Chi B(b)

=>

(Chi A(a) * Chi B(a)) * (Chi A(a) * Chi C(c)) = Chi A(a) * (Chi B(b) * Chi C(c))

Da ein Chi A(a) * ChiA(a) wiederum ein Chi A(a) ergibt, da es bei den charakteristischen Funktionen keine Hochzahlen gibt, sollte es damit bewiesen sein, dass die Aussage WAHR ist.

HTH und dass es stimmt.

Grüße

Bastian

[Ekimus]

aber Chi(b) geschnitten Chi(c) ist nicht dasselbe wie Chi(b) * Chi(c)

sondern geschnitten ist das minimum von beiden, schau mal nach das steht ziemich am Anfang von den Beispielen

[Crow]

Sehr gut, aber was wird da gemacht. Wird auf der linke Seite ChiA herausgehoben und daher ist dann die linke und die rechte Seite gleich.

P.S. Was bedeutet das HTH???

[bastian]

HTH = Hope that helps

Ich denke, oder habe immer damit gerechnet, dass das Minimum von zwei Werten, die nur 0 oder 1 sein können (char func. CHI), ident ist mit einer Multiplikation der beiden Werte. Denn 0*1 = 0 (min(0,1)=0), etc. 1*1 ist 1, 0*0 ist 0. Denkfehler ? Oder nur auf cart. Produkt nicht anwentbar ?

Die Potenz einer Funktion Chi ist hinfällig, da die Potenz von 0 immer 0 sein wird und die von 1 immer 1. Daher ist das Quadrat von Chi(irgendwas) immer Chi.

Vielleicht ists alles Stuss, morgen gehen wir das nochmal durch, vielleicht lichtet sichs dann noch ein wenig.

mfG

Bastian

[JayJay]

mein lösungsvorschlag:

A={a1,a2,.....,an}
B={b1,b2,.....,bm}
C={c1,c2,......,ck}

n,m,k sind indezis und stehen für irgendwelche natürliche zahlen

AxB={(a1/b1),(a1/b2),....(a2/b1),(a2/b2),....(an/bm)}
AxC={(a1/c1),(a1/c2),....(a2/c1),(a2/c2),....(an/ck)}

(AxB)n(AxC) daraus folgt das jene elemente gesucht sind die sowohl in der einen menge sind(AxB) als auch in der anderen(AxC).
das heisst soviel wie zB (a1/b1)=(a1/c1) oder (a5/b54)=(a5/c12)
=>und das gilt NUR DANN wenn wir haben Ax(BnC), denn wir brauchen ja das cartesische produkt. undzwar jenes wo das x der zahlenpaare (x/y) mal sicher aus der Menge A ist und für das y all dieser zahlenpaare brauchen wir jene elemente aus der menge B und C die gleich sind oder die selben, weiss jetzt nicht was davon stimmt, auf jeden fall finden wir all jene elemente aus der menge B die auch in C vorkommen in dem wir den durchschnitt nehmen.
Und das ist auch schon der Beweis.
TRIVIAL :)

PS: denk ich zumindest

mfg JayJay

[Ekimus]

Lässt den das der Baron zu für ChiA n ChiB einfach * einzusetzen?

Bzw. lassen das die Übungsleiter zu?

[camus]

Hallo,

also ich hab mir das folgendermaßen überlegt:

Die charakteristische Funktion von einem cartesischen Produkt
zweier Mengen hat 2 Parameter, nämlich die beiden Element des
Dupels <x,y>

Ob das Dupel <x,y> in der Ergebnismenge vorkommt, hängt ab,
ob x in der Menge A vorkommt und ob y in der Menge b enthalten ist. Nun kann man schreiben:

X AxB (x,y) = Xa (x) * Xb (y)
X AxC (x,y) = Xa (x) * Xc (y)

X(AxB)n(AxC) (x,y) = X AxB (x,y) * X AxC (x,y) = Xa (x)^2 * Xb (y) * Xc (y) = Xa (x) * Xb (y) * Xc (y)

X BnC (y) = Xb (y) * Xc (y)
X Ax(BnC) (x,y) = Xa (x) * Xb (y) * Xc (y)

==> X(AxB)n(AxC) (x,y) = X Ax(BnC) (x,y)
==> (AxB)n(AxC) = Ax(BnC)

Ich hoffe, ich liege nicht allzu falsch, ich war nämlich schon seit
Ewigkeiten nicht in der Vorlesung

[JayJay]

ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher ob das stimmt was da steht allerdings hast du dir das ganze nur für ein zahlen-paar angesehen, bis morgen solltest du auf jeden schaun ob das auch für zahlen-tripel und auch für n-tupel gilt.
von einem zahlenpaar auszugehen ist ne gute idee aber man muss es nachher auch verallgemeinern können damit es ein beweis ist.

[camus]

Bei einem cartesischen Produkt mit 2 Operanden können nur Dupel in der Ergebnismenge sein, also brauch ich es auch nur für
Dupel beweisen.

(A x B) x C liefert trotzdem nur Dupel, die dann halt die Form
<<a,b>,c> haben, aber nicht Tripel der Form <a,b,c>