Bsp 11

[Walter Huber]

ok weil es noch kein thema zu bsp 11 gibt, stellt sich mir die frage:
hat das jeder?
ich tu mir schwer dies zu zeigen. nicht das ich es anzweifle. ich verstehe auch das in jeder potenzmenge die leere menge und die menge A selber enthalten sein muss, jedoch wie soll ich das nun zeigen???
:confused:

[jay]

also ich wäre sehr dankbar für einen kleinen lösungsansatz...

[Walter Huber]

ich hab bis jetzt zwei varianten gehört, und drei varianten gehört, jedoch kann nur eine richtig sein und ich glaub nicht das eine davon dies ist.

variante 1: die 2 von 2^n steht für die menge und die leere menge, welche auf jeden fall in der potenzmenge enthalten sind

variante 2: die 2 steht für die anzahl der elemente im universum (0 und 1)

meiner ansicht nach kann 2 nicht richtig sein, weil die leere menge ja im universum auch vorhanden ist.

naja wäre nett wenn jemand die richtige version posten würde.
:(

[semicolon]

also ich glaube ich habe den richtigen ansatz (naemlich so wie in der VO) allein, mir fehlt der letzte (oder eigentlich der erste) schritt, weshalb ich das beispiel wohl nicht ankreuzen werde.

ich meine der trick ist die potenzmenge als n-tupel der charakteristischen funktionen zu sehen, also zb:

A = {a, b}

dh:
<0,0> == { }
<1,0> == {a}
<0,1> == {b}
<1,1> == {a,b}

dh, ich sehe die potenzmenge als menge von funktionen, also wie in der VO das cartesische produkt über i mengen Ai... was man ja als A^I darstellen kann. die kardinalität ist dann | A | ^ | I | -> da A {o,1} ist also 2^n

mir fehlt nur die begründung warum es wirklich "n"-tupel sind in meiner potenzmenge... also ist alles andere irgendwie ein zirkelschluss.

vielleicht hilft jemand dieser ansatz weiter?
bye,
;

[kambo]

Hallo ! ! !

BEISPIEL 11
Ich schreibe M statt A !!!!
u bedeutet vereinigung

P(M) - Potentmenge einer Menge M

z.B.
M = (0, 1)
|M| = n = 2 Mächtigkeit von M (Anzahl der Elem.)
P(M) = P(0,1) = (leere Menge, {0}, {1}, {0, 1})
also |P(M)| = 2^n = 2^2 = 4 STIMMT !!!!

Beweis durch vollständige Induktion

n=0 also M=leere Menge(hat null Element.)
P(M) enthält nur ein Element, leere Menge)
|P(M)| = 2^n = 2^0 = 1 STIMMT

n = n+1
Wir zerlegen P(M) in zwei getrennte Teile A und B.
Die Menge A=(a1,a2........,an, an+1) das ist eine Teilmenge mit dem Element n+1
B=(a1, a2,........an) das ist eine Teilmenge ohné an+1)
also:
P(M)=(A+ B)
P(M)=P({a1, a2,......an} u {A Teilmenge von M |A=B u{an+1} und
B={a1, a2, a3.......an})
also |P(M)| = 2^n + 2^n = 2^n * 2^1 = 2^n+1
THE END

Ich hoffe, ihr habt etwas verstanden?!?!?!!?!?
Sorry für eventuelle gramatische Fehler......
mfg

[Wulfgang]

Anderer Ansatz:

P(M)={0,1}hoch n dh. ist die Menge aller Folgen aus 0 und 1 der Länge n.

{a1, a2, a3, a4,...,an} <=> 10110..01 => |P(M)| = |{0,1}hoch n| = 2 hoch n.

Prof. Baron hat so was in der Art in seiner VO einmal erwäht, als 0, wenn ein Element nicht in der Teilemenge ist und 1, wenn es in der Teilmenge ist.

[Walter Huber]

ok das hab jetzt auch ich verstanden. danke ;)

[semicolon]

Original geschrieben von Wulfgang
Anderer Ansatz:

Prof. Baron hat so was in der Art in seiner VO einmal erwäht, als 0, wenn ein Element nicht in der Teilemenge ist und 1, wenn es in der Teilmenge ist.

hab mich in der eile wohl nicht gut ausgedrückt, aber ich meine genau das was du meinst: die charakteristischen funktionen der teilmengen bilden ein n-tupel (1 wenn das element element der teilmenge ist sonst 0) allerdings fehlt mir wie gesagt ein schritt (oder ich kapier irgendwas nicht... hab schon probleme mir diese theorie im undenlichen raum wirklich zu verdeutlichen).

und wie gesagt, meiner meinung dürfen wir es nur so lösen -- induktion hat prof. baron noch nicht behandelt in der VO, glaube also nicht dass sie im moment zu den "erlaubten" methoden zählt.

;

[semicolon]

Original geschrieben von Wulfgang

P(M)={0,1}hoch n dh. ist die Menge aller Folgen aus 0 und 1 der Länge n.


das ist genau der springende punkt: wie beweise ich das es länge n haben muss? ich meine, es ist schon klar, aber wie beweise ich es formal?

;

[Wulfgang]

Bsp:

M = {1,2,3}
P(M) = {{0}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

für {1} hast du: 01001101 = 8
für {2} hast du: 00101011 = 8
für {3} hast du: 00010110 = 8

d.h. wenn du n = 3 hast dann musst du für jedes der n-Elemente ob es in der Teilmenge drinnen ist oder nicht, ok so weit so gut.

Das ist eigentlich einleuchtet nur wie genau man nun Beweist, dass daraus folgt, das |P(M)| = 2hochn ??? bzw. warum genau sin es 2hochn teilmengen????

Das Beispiel mit der vollständigen Induktion ist ja recht und schön, aber das an der Tafel vorrechnen ist eine andere Geschichte: :)

[Walter Huber]

jetzt habt ihr mich wiede unsicher gemacht... naja ich glaube ich kreuz es trotzdem an. werde mich einfach zu einem anderen melden. (wenn das möglich ist... aber in der ersten übung)
und wenn ich wirklich raus muss... hoffe ich durch viel reden den tutor überzeugen zu können. (wenn ich den baron hab, dann dreh ich sowieso wieder um) :coolsmile

[Walter Huber]

aja... und wunderts euch nicht wegen dieser perversen uhrzeit. bin gestern früh schlafen gegangen.

[Walter Huber]

hab jetzt die lösung.

IAI=n
IP(A)I=2^n

weil die anzahl aller teilmengen (potenzmenge) die anzahl aller möglichkeiten auf die man A ein element auwählen kann oder nicht. da es eben nur die möglichkeit gibt ein element auszuwählen oder nicht, und A aus n elementen besteht, gibt es 2*2*2*2...... =2^n möglichkeiten, verschiedene elemente auszuwählen, das heisst die teilmenge zu bilden.

ist von jemand der das aus einem mathe buch hat.... stimmt also sicher.
und ich glaub auch das es reicht.