View Full Version : [PROBLEM] - 343, 346, 352, 353, 357
Paulchen
18-06-2005, 15:38
vorab: ich liebe die differenzierbarkeit wie die sch... ähm, verzeihung, stetigkeit.
343: keine ahnung, wie ich das angehen soll, kann nur raten
ich kann zeigen, dass die funktion im gegebenen definitionsbereich stetig ist und streng monoton, daher existiert in diesem intervall auch eine stetige und streng monotone umkehrfunktion
hab in dem term f(x)=(1-x7)/x7 dann einfach f(x)=y und x=f(y) gesetzt, umgeformt und bin gekommen auf f(y)=(1/(1+y))^(1/7). ich weiß weder ob das so stimmt, noch ob das baron-konform ist.
346: ich weiß zunächst: f(a) >= a, f(b) <= b (skizze hilft bei dieser überlegung)
ich betrachte nun die funktion g(x)=f(x)-x
es gilt: f(x)=x <=> g(x)=0
nun ist g(a)=f(a)-a>=0 und g(b)=f(b)-b<=0, daher muss g(x) laut nullstellensatz von bolzano in [a,b] zumindest eine nullstelle haben, d.h. f(x) hat in diesem intervall mindestens einen fixpunkt x0 mit f(x0)=x0.
352: ich kann zeigen (mit hilfe des kriteriums der linearen approximierbarkeit), dass x, x², -4, -4x, +4, -6 und -3 differenzierbar sind. so weit so gut. nun weiß ich aber nicht, wie ich die differenzierbarkeit der wurzelfunktion bestimme. gut, mit hausverstand kann ich mir überlegen, dass die wurzelfunktion im intervall [0,unendlich) differenzierbar ist, aber wie bringe ich das dem baron näher?
und weiters: wie leite ich diese ganze wurst da ab? nicht, dass ich es nicht zusammenbring, aber da entsteht ein merkwürdiger monsterausdruck, und ich weiß nicht, soll man den stehen lassen, kann man den stehen lassen, soll man den vereinfachen, kann man den vereinfachen...
353: selber shit wie bei 352
357: gut, das bring ich ja grad mal zusammen. linke und rechte seite ableiten, gleichsetzen, LS=RS zeigen, fertig. so lang der baron dann ned fragt: und warum reicht das, um zu zeigen, dass der ursprüngliche ausdruck eine korrekte aussage ist?
P.S.: warum kann man als kategorie für diesen thread eigentlich nicht [PROBLEME] auswählen? wäre viel passender... :shinner:
zu 352 schau dir das mal an, bps is sehr ähnlich nr der nenner is anders
http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=11195&highlight=350
edit: wie zeigst du dass eine funktion im gegebenen definitionsbereich stetig und streng monoton ist? bzw wo sie differenzierbar ist?
Myrmidone
19-06-2005, 20:19
Kurze Frage wie zeige ich dass die Funkrion stetig und monoton ist bei 343?
Kurze Frage wie zeige ich dass die Funkrion stetig und monoton ist bei 343?
du wirst wahrscheinlich nicht explizit zeigen müssen, dass sie stetig ist. polynomfunktionen sind das ja bekanntermaßen auf ganz R.
EDIT: oops, ist ja eine gebrochen rationale fkt. macht aber nicht viel unterschied - die sind stetig dort, wo der nenner != 0 ist
die monotonie kannst du über die ableitung untersuchen. wenn die abl < 0 ist, ist die fkt streng monoton fallend, bei > 0 str mon steigend.
gut, mit hausverstand kann ich mir überlegen, dass die wurzelfunktion im intervall [0,unendlich) differenzierbar ist, aber wie bringe ich das dem baron näher?
sqrt(x) ist ja die umkehrfkt von x^2 auf R+
also auch differenzierbar.
-Thomas
357: gut, das bring ich ja grad mal zusammen. linke und rechte seite ableiten, gleichsetzen, LS=RS zeigen, fertig. so lang der baron dann ned fragt: und warum reicht das, um zu zeigen, dass der ursprüngliche ausdruck eine korrekte aussage ist?
Geht das wirklich so einfach? Irgendwie müssen wir wohl eine Begründung dafür finden, sonst wird der Baron sicher wieder eines seiner berüchtigten Gegenbeispiele präsentieren...
(z.B.:
x abgeleitet nach x = 1
x+1 abgeleitet nach x = 1
1=1
also x=x+1)
Leider hab ich auch keine Idee, wie man 357 sonst lösen soll...
@343: Das habe ich genauso. Dürfte wohl auch stimmen.
Geht das wirklich so einfach?
Behauptung:
Wenn 2 Funktionen f,g auf einem Intervall I die gleiche Ableitung
besitzen, dann unterscheiden sie sich nur durch eine Konstante.
Beweis:
Die Ableitungen der Funktionen sind auf I gleich, d.h.:
für alle x € I gilt:
f'(x) = g'(x) <==> f'(x) - g'(x) = 0
==>
1. Mittelwertsatz: für alle x,y € I, x <= y existiert ein h € [x,y], sodaß gilt:
(f(y) - g(y)) - (f(x) + g(x)) = (f'(h) - g'(h)) * (y-x).
Nachdem f'(h) - g'(h) = 0 ist laut Voraussetzung, folgt daraus:
(f(y) - g(y)) - (f(x) + g(x)) = 0 * (y-x) = 0
==> f(y) - g(y) = f(x) - g(x).
Wenn man jetzt an einer beliebigen Stelle a aus dem Intervall I
in die Funktion einsetzt, dann bekommt man ein f(a) - g(a) =: c heraus,
und aus obigem folgt, dass f(x) = c + g(x) für alle x aus dem Intervall I ist.
Wenn an der Stelle, an der man eingesetzt hat, dann herauskommt,
dass die Differenz 0 ist, müssen die Funktionen also auf dem Intervall
gleich sein.
Zu deinem Beispiel:
f(x) = x ==> f'(x) = 1;
g(x) = x + 1 ==> g'(x) = 1;
f'(x) = g'(x) für alle x € R.
f(0) = 0, g(0) = 1 ==> für alle x € R gilt, dass g(x) = f(x) + 1 ist.
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man die arctan funktion in 357 differenzieren kann, weil ich bekomm das irgendwie nicht zusammen. bin für jede antwort dankbar
lg
feli
Paulchen
20-06-2005, 17:47
arctan'(x)=1/(1+x²)
steht im buch und hier (http://de.wikipedia.org/wiki/Arctan)
Wenn 2 Funktionen f,g auf einem Intervall I die gleiche Ableitung besitzen, dann unterscheiden sie sich nur durch eine Konstante.
Ahja, macht Sinn. Danke.
Zu 352 wäre wohl noch zu klären, ob man den Zähler zu x-2 vereinfachen darf. Dann kommt man nämlich auf ein relativ einfaches Ergebnis. Wenn man das nicht macht, bleibt ein gewaltiger Bruch stehen...
Paulchen
21-06-2005, 01:36
Zu 352 wäre wohl noch zu klären, ob man den Zähler zu x-2 vereinfachen darf. Dann kommt man nämlich auf ein relativ einfaches Ergebnis. Wenn man das nicht macht, bleibt ein gewaltiger Bruch stehen...den zähler darf man meiner meinung nach zu |x-2| vereinfachen, da es sich um eine funktion handelt und eine funktion hat ja bekanntlich die eigenschaft, jedem x genau ein f(x) zuzuordnen.
da nichts weiter angegeben ist, ist davon auszugehen, dass die positive reelle wurzel gemeint ist. und die ist gleich |x-2|.
glubschi
22-06-2005, 00:06
du wirst wahrscheinlich nicht explizit zeigen müssen, dass sie stetig ist. polynomfunktionen sind das ja bekanntermaßen auf ganz R.
EDIT: oops, ist ja eine gebrochen rationale fkt. macht aber nicht viel unterschied - die sind stetig dort, wo der nenner != 0 ist
die monotonie kannst du über die ableitung untersuchen. wenn die abl < 0 ist, ist die fkt streng monoton fallend, bei > 0 str mon steigend.
sqrt(x) ist ja die umkehrfkt von x^2 auf R+
also auch differenzierbar.
-Thomas
bist du sicher, dass das so einfach über die ableitung geht --> die monotoniebestimmung??
könnte man das auch mittels induktion machen, indem man sagt:
f(x) < f(x+1) f. a. x element Df oder so irgendwie..
ich check das gar nimmer.. wie kann i genau die stetigkeit und die monotonie beweisen???? :confused:
und wie bestimm i die umkehrfunktion??? i mein : f(x) = y und x = (f(Y)) ist scho klar. aber wie rechne i dann??
@357
wenn ich einfach beide seiten ableite: --> wie komm ich auf die ableitung von arcsin(x)``
--> hab im buch gefunden: arcsin'(x) = 1/sqrt(1-x²)
jetzt hab i dann: /sqrt(1-x²) = -1/(1+x/sqrt(1-x²))) und das soll gleich sein??? grumme..
@ 352
wie finde ich heraus, wo die funktion differenzierbar ist?!?
könnte man das auch mittels induktion machen, indem man sagt:
f(x) < f(x+1) f. a. x element Df oder so irgendwie..
nein, kann man nicht. damit zeigst du nur, dass f(n) < f(n+1) f.a. n aus Df (natürlich nur falls n+1 auch aus Df). weil aber Df ein reelles intervall ist, ist das zu wenig.
@357
wenn ich einfach beide seiten ableite: --> wie komm ich auf die ableitung von arcsin(x)``
die ableitung von umkehrfkten sind ja einfach zu bestimmen:
arcsin(x)' = 1/ sin(u)' |u=arcsin(x)
= 1 / cos( arcsin(x) ) = 1 / sqrt( 1 - sin^2(arcsin(x)) ) = 1 / sqrt( 1 - x^2 )
hoffe es wird klar, wie das gemacht wird.
-Thomas
glubschi
22-06-2005, 00:57
die ableitung von umkehrfkten sind ja einfach zu bestimmen:
arcsin(x)' = 1/ sin(u)' |u=arcsin(x)
= 1 / cos( arcsin(x) ) = 1 / sqrt( 1 - sin^2(arcsin(x)) ) = 1 / sqrt( 1 - x^2 )
hoffe es wird klar, wie das gemacht wird.
-Thomas
hallo thomas, danke mlal.
versteh leider immer no nit ganz, wie das gemacht wird....
wie kann ich sagen 1/sin(u)' = 1/cos(u)??
@346
woher wisst ihr, dass f(a)>=a und f(b)<=b ist??
wie kann ich sagen 1/sin(u)' = 1/cos(u)??
das ist nicht so schwer, wenn du weißt, dass sin' = cos ;)
@346
woher wisst ihr, dass f(a)>=a und f(b)<=b ist??
weil f: [a,b]->[a,b] kann man sofort folgern, dass a <= f(x) <= b f.a. x aus [a,b] (=Df)
-Thomas
glubschi
22-06-2005, 13:28
die ableitung von umkehrfkten sind ja einfach zu bestimmen:
arcsin(x)' = 1/ sin(u)' |u=arcsin(x)
= 1 / cos( arcsin(x) ) = 1 / sqrt( 1 - sin^2(arcsin(x)) ) = 1 / sqrt( 1 - x^2 )
-Thomas´
ist der arcsin(x) = 1/sin(arcsin(x))?
warum das 1/??
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