Bspe 1-5

[tschurlo]

Hallo!

Habe mir gerade ersten Uebungszettel angesehen. Ahhh!

Ad Bsp1: Wir haben zwar Hoehenlinien erwaehnt, aber wie soll man diese beschreiben??

Ad Bsp2: Haben wir schon Gleichungen von Schnittkurven bestimmt? Wenn ja, wie?

Ad Bsp3: Was hat in dieser Form das "2b" zu suchen?

Ad Bsp4/Bsp5: Heiszt das, wir sollen mit dieser Formulierung von homogen weiterarbeiten oder kommt das am Montag in der VO noch genauer?

Hilfe!

Lg

[Almresl]

also das mit dem 2b, da brauchst gar nix ausrechnen oder so, dass b schreibst einfach als b in díe matrix rein (siehe vo. 7.10.)

und bei bsp 4. und 5. hab ich einfach die formel verwendet. beim 4. gezeigt, dass es so ist und beim 5. weitergemacht.

[Rincewind]

also bei mir kommt mal folgendes raus:

1. Bsp

a)
Höhenlinien sind bei z = z0
--> z0 = x² - y²
--> y = +-sqrt(x²-z0)

b)
z0 = sqrt(1-x²/4-y²/9)
--> y = 3 * +-sqrt(1-x²/4-z0²)


2. Bsp

Schnittkuven existieren IMHO dort wo eine Variable konstant ist

bei x = x0
--> z = x0*y² - 10*x0
--> Parabel

bei y = y0
--> z = x*(y0² - 10)
--> linear steigend

bei z = z0
--> x = z0/(y² - 10)
--> hyperbel


3. Bsp

laut Vorlesung:
--> A = [[4,b/2],[b/2,25]]

und es ist positiv definit solange x,y >0 weil nur dann q(x) > 0


4. Bsp

einfach lambda * f(x,y) ausrechnen
dann f( lambda * x, lambda * y) ausrechnen und nachsehen ob das gleiche rauskommt, wenn ja, dann homogen

5. Bsp

wie tschurlo schon gesagt hat gleich mit 4:
a -> homogen
b -> nicht homogen
c - > homogen, wenn b+c = 1 --> b = 1-c


ich glaub das sollte alles sein (bis auf die Skizzen dann gezeichnet und die 3D Darstellung von Bsp2 in einem Grafikprogramm)

Peter

[RupertK]

also ich würd sagen, beim 5. sind alle homogen. nur halt
mit verschiedenen grad
bei mir kommt raus
a) r=1
b) r=2
c) r= b+c

[RupertK]

beim 3. bsp hab ich auch einen einwand.
pos def is es, wenn die determinante positiv ist
also 4*25 - b² > 0
-> 100 > b²
10 > b

b muss kleiner als 10 sein, damit es pos def is

[Sylwester]

Hallo!

Ich bin nicht sicher ob alles stimmt.........

BEISPIEL 3

q(x,y) = 4x^2 + 2bxy + 25y^2 mit b aus R


4 b
q(x,y) = 4x^2 + 2bxy + 25y^2 = xT * b 25 * x

Laut Vorlesung:

a b
Es gilt: n = 2 A = b c ist positiv definit, falls:

a > 0 , |A| = ac – b2 > 0

Also:
a = 4 > 0
|A| = 4*25 - b^2 = 100 - b^2 und ist positiv definit für
10 > b > -10 (in anderem Fall wird |A| negativ)

Sorry für eventuelle Fehler!!!! Ich hoffe, ich habe keinen Blödsinn angeschrieben!!!!!
Kann jemand bitte andere Lösungen posten????

mfg
sylwester
:thumb:

[Sylwester]

SORRY für meinen unklaren Beitrag

mfg
sylwester

[Rincewind]

@ RupertK

ich glaube nicht, dass 5. homogen ist
wenn du z.B. 2 nimmst

lambda² * f(x,y) = lambda² * (x²+y)

f(lambda² * x, lambda² * y) = lambda² (lambda² * x² + y)

das kannst du auch für n machen
-->
lambda^n * f(x,y) = lambda^n * (x²+y)

f(lambda^n * x, lambda^n * y) = lambda^n (lambda^n * x² + y)

--> es ist nicht homogen, egal für welchen Grad

@RupertK (2)
laut dem Beispiel und der Definition in der VO letztens ist es positiv definit falls x,y > 0 (das haben wir gleich nach den 5. Punkten über definit gemacht)

Das mit der Determinante müsste dann eigentlich zusätzlich gelten, oder?

@ Sylwester
jep, danke, ich hab voll auf das b vergessen, das sollte dann passen

Peter

[RupertK]

na ich schreib einfach mal meine lösung vom 5.

für lambda schreib ich L und für hochrechnen schreib ich ^

also
a)
f(x,y,z) = x+ (yz)^1/2

es soll gelten:
f(Lx,Ly,Lz) = L^r * f (x,y,z)

Lx + (Ly*LZ)^1/2 = L^r *(x + (yz)^1/2)

Lx + (L^2 * yz)^1/2 = L^r * (x + (yz)^1/2)

Lx + L * (yz)^1/2 = L^r * (x+ (yz)^1/2)

L * (x+yz)^1/2 = L^r * (x +(yz)^1/2)

links und rechts steht das gleiche --> r=1

b)

f(x,y) = x^2 + y

(Lx)^2 + Ly = L^r * (x^2 + y)

L^2 * x^2 + Ly = L^r * (x^2 + y)

L * ( Lx^2 + y ) * L^r * (x^2 + y)

links und rechts steht nicht das gleiche --> kein r möglich
--> nicht homogen
(wenn man natürlich die angabe falsch liest und x^2 + y^2 nimmt, dann kommt r=2 raus)

c)
f(x,y) = a * x^b * y^c

a * (Lx)^b * (Ly)^c = L^r * (... )

a * L^b * x^b * L^c * y^c = L^r * (...)

L^(b+c) * a * x^b * y^c = l^r * a * x^b * y^c

links und rechts steht das gleiche --> r = b+c
--> homogen

[Rincewind]

also das war dann eigentlich genau das, was ich geschrieben habe :)

Peter