Bsp. a) für 1. Juni

[Paulchen]

Man finde eine Näherungslösung durch Durchführung von drei Schritten der Bisektion für die Gleichung cos(x)=x im Intervall [0,π/2].

Ich hab daraus mal eine Funktion gemacht: f(x)=cos(x)-x, für die wir eine Nullstelle finden wollen.

I0=[0;π/2]

a0=0; b0=π/2

f(a0) = f(0) = cos(0)-0 = 1 > 0
f(b0) = f(π/2) = cos(π/2)-π/2 = -π/2 < 0
f((a0+b0)/2) = f(π/4) = cos(π/4)-π/4 = (2*sqrt(2)-π)/4 < 0

daher: a1=a0=0, b1=π/4; I1=[0;π/4]

f(a1) = f(a0) > 0
f(b1) = f(π/4) < 0
f((a1+b1)/2) = f(π/8) = cos(π/8)-π/8

es gilt: 0 < π/8 < 4/8 = 1/2 < 1/sqrt(2) = cos(π/4) < cos(π/8) < 1
daher: f(π/8) > 0

also: a2=π/8, b2=b1=π/4; I2=[π/8;π/4]

f(a2) = f(π/8) > 0
f(b2) = f(b1) < 0
f((a2+b2)/2) = f(3π/16) = cos(3π/16)-3π/16

es gilt: 0 < 3π/16 < (3*7/2)/16 = 21/32 < 16*sqrt(2)/32 = 1/sqrt(2) < cos(π/4) < cos(3π/16) < 1
daher: f(3π/16) > 0

also a3=3π/16, b3=b2=π/4; I3=[3π/16;π/4]

die nullstelle (und damit die lösung der gleichung) liegt also irgendwo in diesem intervall.

[Myrmidone]

müsste beim zweite Schritt nicht a2=a1 gesetzt werden weil f(pi/8)>0 is?

[Paulchen]

müsste beim zweite Schritt nicht a2=a1 gesetzt werden weil f(pi/8)>0 is?
Für In=[an;bn] muss gelten: sgn(f(an)) != sgn(f(bn)), damit sich laut nullstellensatz in diesem intervall eine nullstelle befindet.
hier muss ich an und bn immer so wählen, dass sgn(f(an))=1 und sgn(f(bn))=-1, da das auch für a0 und b0 so ist.

Würde ich a2=a1 setzen, so müsste ich b2=π/8 setzen, und dann wäre die bedingung sgn(f(an)) != sgn(f(bn)) nicht mehr erfüllt (wert der signumfunktion ist in beiden fällen 1), und ich könnte nicht mehr garantieren, dass sich zwischen a2 und b2 eine nullstelle befindet.

[hm?]

also ich blick da nicht durch...

hat sich glücklicherweise geändert ;)

[Myrmidone]

Ich weiß nicht, wahrscheinlich versteh ichs nihct ganz, aber nach dem Buch auf S.63 müsste a2=a1 gesetzt werden.
Kann es sein, dass du da Bisektion und Regula Falsi vermischt?

[Raiden]

Wenn man f(x) = x - cos(x) macht müssten die Schritte genau wie im Buch funktionieren oder?
Aber ist ja eigentlich egal - man kann ja eh logisch erklären warum man die Intervallgrenzen jetzt so und so versetzt hat.

[spooky]

jep mit f(x) = x - cos(x) kann man wie im Buch verfahren

[artii]

Das nachdem ihr sucht, steht auf Seite 64 oben bzw. beginnt auf Seite 63...

"... Gilt (alpha) f(a) <= 0 und f(b) >= 0 oder (beta) f(a) >=0 und f(b)<= 0 ...."

Und mit f(x) = cos(x) - x haben wir den Fall, dass f(a) > 0 und f(b) < 0 also Fall beta
und siehe jetzt Buch S. 64,
"... Im Fall beta betrachte man anstelle von f die Funktion (-f)..."

Im Prinzip heißt das aber nichts, man muss halt die Funktion andersrum abarbeiten... so irgendwie... Hauptsache die Vorzeichen von f(a) und f(b) sind unterschiedlich...

Deshalb ist auch b2 = b1 gesetzt und nicht a2 = a1...

Oder die Möglichkeit mit f(x) = x - cos(x) geht natürlich auch...
(-> da tritt dann eben Fall alpha auf...) :verycool:

[Quimby]

Man finde eine Näherungslösung durch Durchführung von drei Schritten der Bisektion für die Gleichung cos(x)=x im Intervall [0,π/2].

Ich hab daraus mal eine Funktion gemacht: f(x)=cos(x)-x, für die wir eine Nullstelle finden wollen.


warum nimmst du diese funktion( f(x) = cos(x)-x ), kann man dass für dieses beispiel überhaupt benützen

[glubschi]

diese frage wollt ich auch gerade stellen...

und diese: @paulchen
wie funktioniert die herleitung, dass f(pi/8)<1 und >0 ist?
blick da nicht durch: von wegen dann 1/2 < 1/sqrt(2) usw.

[Noir]

diese frage wollt ich auch gerade stellen...

und diese: @paulchen
wie funktioniert die herleitung, dass f(pi/8)<1 und >0 ist?
blick da nicht durch: von wegen dann 1/2 < 1/sqrt(2) usw.

ich glaube so:
cos(pi/8) = 0,923... => < 1 und > 0 => 0 < cos(pi/8) < 1

und die gesammte Funktion:
f(pi/8) = cos(pi/8) - pi/8 = 0,5311... => < 1 und > 0 => 0 < f(pi/8) < 1

[glubschi]

ok - jetzt sollt ichs nur noch ohne taschenrechner hinbringen
lol:cuss: (misc.php?do=getsmilies&wysiwyg=1&forumid=286#) :cuss:

[Quimby]

f((a0+b0)/2) = f(π/4) = cos(π/4)-π/4 = (2*sqrt(2)-π)/4 < 0

wie kommt man auf (2*sqrt(2)-π )/4 ?

[Artanis]

cos(pi/4) = 1/2sqrt(2)
1/2*sqrt(2) - pi/4 = (2*sqrt(2)-pi )/4