View Full Version : [Frage] Frage zu 406
Hallo,
Bin gerade bei Beispiel 406 dran. Um die Anzahl der Elemente zu ermitteln dachte ich mir ich gehe wie folgt vor:
Ich verwende die Formel wo mir als Ergebnis die Kardinalität des Komplementes der Vereinung aller Teilmenge liefert. Wenn ich als Teilmengen folgende Mengen definiere:
A1 = { x | x = a^2, 1 < a^2 < 1e6, a e N }
A2 = { x | x = a^3, 1 < a^3 < 1e6, a e N }
A3 = { x | x = a^4, 1 < a^4 < 1e6, a e N }
A4 = { x | x = a^5, 1 < a^5 < 1e6, a e N }
Die Kardinalitäten zu ermitteln für A1, A2, A3 und A4 ist noch einfach:
|A1| = 1e6^(1/2)
|A2| = 1e6^(1/3)
|A3| = 1e6^(1/4)
|A4| = 1e6^(1/5)
Nun brauche ich aber natürlich auch noch die Kardinalität von |A1 ∩ A2|, |A1 ∩ A3| usw. Das wird dann schon schwerer, denn wie kriege ich auf die schnelle raus welche Elemente nicht in beiden vorkommen ohne beide zu rechnen.
Nehmen wir das ganze nur mal bis <= 200 an:
A1={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196}
A2={1,8,27,64,125}
A3={1,16,81}
Dann gilt |A1 ∩ A2| = 2
Dann gilt |A2 ∩ A3| = 1
Dann gilt [A1 ∩ A3| = 3
Jemand eine gute Idee ?
A_3 \subset \A_1, also A3 ist eine echte Teilmenge von A3, das
vereinfacht das Problem etwas. Noch ein Hinweis: |A1 \cap A2| =
(10^6)^(1/6). hm. wobei wenn es wirklich 1 < a^2 ist, dann ist ja 1
auch nicht dabei, da muss man generell noch 1 abziehen.
1 ist dann sowieso in A&capB&capC&capD
1 \notin A_i für i=1..4 wenn es heißt 1 < x < 10^6, wenn es aber 1 <= x
heißt, dann ist es in allen drinnen und dann braucht man aber auch
nicht eines abziehen.
LaTeX Tip Of The Day:
\notin ... keine Element von, das Gegenteil von \in
\in ... Element von
A_i ... A Index i, wenn der Index aus mehr als einem Zeichen besteht,
dann muß man in LaTeX gruppieren, das geschieht mit {} z.b. A_{12}
dann muß man es aber in den termen mit 2 oder mehr mengen wieder dazuzählen, denn M - (A+B+C+D) würde 1 insgesamt 4 mal abziehen...
Das Inklusions/Exklusionsprinzip sei dein Freund. ;)
Sylwester
11-10-2002, 18:59
Hallo!
Irgendwo im Netz hab ich eine Lösung gefunden (Bsp.406)
Analog kann man auch 407 lösen
Hat schon jemand Bsp. 403,404 oder 405 gemacht???
mfg
sylwester
hmm, ich hab 407 fast allein gecheckt, bin aber an (im bild im anhang des letzten beitrags) der überlegung
|A durchschnitt B|=sqr((Exponent von A)*(Exponent von B)(10^6))
gescheitert. Gibts da auch nen Beweis dass das stimmt? Woher nimmt er die Überlegung die Exponenten der Beiden Mengen zu multiplizieren?
Hey aufpassen! Der Anhang mit dem ausgearbeiteten Bsp. kann nicht stimmen, weil die Exponenten bei einer Multiplikation nicht multipliziert werden sondern addiert!
(Exponent von A)+(Exponent von B)
nachzulesen hier:
http://www.mathe-online.at/mathint/pot/i.html#Multiplizieren
Das heißt der Exponent bei
|A1capA2| lautet dann 6/2 beim bei A1 und 6/3 bei A2
A1capA2|=(10^6/2)*(10^6/3) = 10^6/5 anstatt wie fälschlicherweise 10^6/6
Oder lieg ich doch falsch?
Vorsicht! Um |A_1 \cap A_2| zu berechnen reicht es nicht aus einfach
nur die Mächtigkeit von A_1 also 10^(6/2) und die von A_2 10^(6/3) zu
multiplizieren oder zu addieren. Btw. 10^(6/2) != 10^6/2, weil das 1000
!= 5000000 ist. Bitte immer die Reihenfolge der Operatoren beachten.
Man muß sich wirklich überlegen welche Elemente haben den diese beiden
Mengen gemeinsam und welche Mächtigkeit hat diese Menge. In diesem Fall
ist das halt \Sqrt[6]{10^6}
\Sqrt[6]{10^6} ... LaTex: sechste Wurzel aus 10^6
Hallo Heder!
Welche Rechenregel ist hier anzuwenden, bzw. welchen Beweis
gibt es für die 10^(6/6)?
mfg
Horace
Du kannst dir das ganze so überlegen horace. Wenn du die Potenzen suchst von x^2 und x^3 dann ist es die menge x^6.
dadurch erhälst du für die quadratwurzel aus x^6 auf jedenfall wieder eine natürliche zahl und für die dritte wurzel auch (Wurzel ist Division des Exponenten).
Das einzige wo man aufpassen muss, ist das x^4 eine teilmenge von x^2 ist, also nicht die 8te wurzel nehmen, sondern alle potenzen von x^4 sind auch in x^2. also gilt wenn A1 die Menge aller x^2 sind und A3 die Menge aller x^4 folgendes:
A1 ? A3 = A3 (Da A3 Teilmenge von A1)
ps: hat jemand als ergebniss auch 998899, bzw 1101 als die kardinalität aller Potenzen ?
Wie schauts bei euch mit der Lösung aus ? Ich habe 998899 als Ergebniss.
grüße,
wolti
Primenumber
13-10-2002, 15:23
Jep, 998899 stimmt.
Hab mir extra ein kleines Programm geschrieben, dass das stur durchrechnet und siehe da, es passt. :)
> |A durchschnitt B|=sqr((Exponent von A)*(Exponent von B)(10^6))
> gescheitert. Gibts da auch nen Beweis dass das stimmt? Woher nimmt er die
> Überlegung die Exponenten der Beiden Mengen zu multiplizieren?
diese frage stelle ich mir auch. wie lässt sich das begründen?
allerdings: wo liegt denn der fehler in dem bsp im anhang? offensichtlich
kommt das richtige ergebnis raus. aber warum ich die beiden exponenten
multiplizieren soll, ist mir ebenso schleierhaft wie sebus.
liebe grüße,
lola
Wir suchen die Anzahl der Erlemente in der Durchschnittsmenge von A1 und A2, also jene Elemente wo es ein x^2 und ein y^3 in der Menge der natuerlichen Zahlen von 1 bis 1e6 gibt wo durch Zufall gleich sind.
Um diese Anzahl zu ermitteln kannst dir das ganze wie folgt ueberlegen. Jede natuerliche Zahl die eine 6 Wurzel ist, also x^6 < 1e6 kann man als x^2*x^3 darstellen. Und x^2 und x^3 sind wieder natuerliche Zahlen und kommen in den Mengen A1 und A2 vor.
A1={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 69, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 76, 625, 676, 729}
A2={1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729}
A1 &cap A2 = {1, 64, 729}
Wir haben jetzt nur Zahlen untersucht zwischen 0 und 729. Aber du siehst z.B, dass die 6 Wurzel aus 729 = 3 ist und daher die Anzahl der Elemente liefert. Aufpassen halt bei x^2 und x^4, siehe in meinem Beitrag.
Hallo Wolti!
Dein Beitrag ist in Ordnung und hat mir geholfen, Danke!
Nur meines Wissen ist
(x^2)*(x^3) = x^5 und nicht x^6.
Kann das stimmen?
mfg
Horace
joop.. tippfehler in der eile, x^6 kannst du als x^(2*3) darstellen. dann ist die 3 wurzel daraus x^2 (Potenzen werden dividiert zum Wurzelziehen) und die quadratwurzel x^3, also immer ein element aus der anderen teilmenge.
hoffma das wir es jetzt haben.
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