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View Full Version : [Frage] Bsp. 407

Alex_K
10-10-2002, 18:04
Wieviele natürliche Zahlen n mit 1 kleinergleich n kleinergleich 10^8 gibt es, die weder zweite, noch dritte, noch fünfte, oder sechste Potenz einer natürlichen zahl sind?


ich kann mit der angabe überhaupt nichts anfangen ...

hat jemand ideen dazu?
Judas42
10-10-2002, 18:18
naja... die Anzahl der Zahlen, die die x-te Potenz einer natürlichen Zahl sind ist und in einem Wertebereich bis Y liegen ist die x-te Wurzel aus Y...

Dementsprechend gibt es Wurzel 10^8 Zahlen, die zweite Potenz sind, etc.

dann braucht man nur noch wissen, welche Zahlen doppelt vorkommen:

Wir haben z. B. die a-te und die b-te Potenz einer Zahl c, also c^a und c^b. Die Übereinstimmenden Elemente sind demnach c^(a*b).

Beispiel: x^4 und x^5: die kleinste gemeinsame Element ist logischerweise x^20.

Bei genauerem Nachdenken wird einem Auffallen, daß dies eine weitere Menge ist, die man wiederum abziehen muß. Man muß dazu nur noch die Anzahl der Elemente bestimmen und die ist die 20ste Wurzel aus 10^8 (bei diesem Beispiel)

Viel Spaß *g*
HET2
10-10-2002, 23:19
muchos grazias mon segnior!
Alex_K
11-10-2002, 12:39
bei mir kommt n=99989510 raus ...

hat jemand vergleichswerte?
Judas42
11-10-2002, 14:06
ich hab 99989511
Alex_K
11-10-2002, 14:43
hm,

ich berechne n mit:

n=10^8 - |A1| - |A2| - |A3| - |A4| + |A1nA2| + |A1nA3| + |A1nA4| + |A2nA3| + |A2nA3| + |A3nA4| - |A1nA2nA3| - |A1nA2nA4| - |A2nA3nA4| - |A1nA3nA4| + |A1nA2nA3nA4|

|A1|=10000
|A2|=464
|A3|=39
|A4|=21
|A1nA2|=21
|A1nA3|=6
|A1nA4|=4
|A2nA3|=3
|A2nA4|=2
|A3nA4|=1
alle anderen terme sind auch 1
Sebi
13-10-2002, 18:32
bekomme auch 99989510
harry
13-10-2002, 18:42
ich komme mit meiner methode auf 99989528 :confused:

meine Vorgehensweise:
die 6 Wurzel aus n ist immer ein Element aus der 3. Wurzel aus n.
Daher habe ich die 6. Wurzel wegelassen:
10^8-(|A|+|B|+|C|-|AnB|+|AnC|+|BnC|+|AnBnC|)

|A|=(2. Wurzel)=10000
|B|=(3. Wurzel)=464
|C|=(5. Wurzel)=39

|AnB|=21
|AnC|=6
|BnC|=3
|AnBnC|=1

=> 10^8-(10000+464+39-21+6+3+1)=99989528
ibins
13-10-2002, 19:56
tja, bei mir sinds 99.989.525, ich werd das aber nochmal überprüfen...;) aber so in der Gegend wirds wohl sein

ibins
ibins
13-10-2002, 20:09
@ Alex_K

also meine Formel ist die gleiche, nur meine Zahlen, die ich für den Durchschnitt herausbekomme, sind andere:

|A1 n A4|=21
da ich glaube, dass der Durchschnitt von 2.Wurzel und 6.Wurzel die 6.Wurzel ist (sehr unmathematisch, ich weiß;)). Das Gleiche gilt z.B. auch für |A2 n A4|.

ibins
harry
13-10-2002, 20:11
die Unterschiede bei unseren Resultaten könnten durch die Rundungsfehler enstanden sein...
...die Frage ist nur, inwieweit sich das auf die "Note" auswirkt.
LordOfTheBite
13-10-2002, 20:35
Original geschrieben von harry
ich komme mit meiner methode auf 99989528 :confused:

meine Vorgehensweise:
die 6 Wurzel aus n ist immer ein Element aus der 3. Wurzel aus n.
Daher habe ich die 6. Wurzel wegelassen:
10^8-(|A|+|B|+|C|-|AnB|+|AnC|+|BnC|+|AnBnC|)

|A|=(2. Wurzel)=10000
|B|=(3. Wurzel)=464
|C|=(5. Wurzel)=39

|AnB|=21
|AnC|=6
|BnC|=3
|AnBnC|=1

=> 10^8-(10000+464+39-21+6+3+1)=99989528

du hast zwei - in + umgewandelt UND dich noch dann beim (eintippen in den taschenrechner vermute ich) vertippt

korrekt ist bei mir:
10^8-(10000+464+39-21-6-3+1)=99989526

peter
harry
13-10-2002, 21:19
Ja, stimmt.
Trotzdem sind unsere Ergebnisse ziemlich unterschiedlich.:thumb:
ebirn
13-10-2002, 21:37
also ich bin auch dafür, dass das Ergebnis 99.989.510 lautet.

so long
mfg
ebirn
harry
13-10-2002, 21:47
Wenn ich mit Alex_K's Methode rechne, dann komme ich auch auf 99.989.510.

Grundsätzlich müsste meine Methode aber äquivalent sein (ein Rundungsfehler von 16 ist schon ziemlich groß...)
Alex_K
13-10-2002, 23:25
also rundungsfehler sollte es da nicht geben, du musst alle werte abrunden, denn wenn du aufrundest würde der letzte wert ja schon außerhalb der 10^8 liegen.
Alex_K
14-10-2002, 20:46
so, da in einem anderen thread wer auf die idee gekommen ist ein programm zu schreiben welches das beispiel einfach stur durchrechnet hab ich das für unser bsp. auch mal gemacht, und da kommt auch 99989526 raus.

anscheinend ist in meiner method ein fehler, nur kann ich ihn nicht finden ...
harry
14-10-2002, 21:05
und nochein wert...

n=10^8 - (|A1| + |A2| + |A3| + |A4| - |A1nA2| - |A1nA3| - |A1nA4| - |A2nA3| - |A2nA4| - |A3nA4| - |A1nA2nA3| - |A1nA2nA4| - |A2nA3nA4| - |A1nA3nA4| + |A1nA2nA3nA4|)

n=10^8-(10000+464+39+21-21-6-4-3-2-1-1-1-1-1+1)
=10^8-(10524-41+1)
=99989516 :lol:
Alex_K
14-10-2002, 22:07
die letzten 4 vorletzen einser müssen ein + als vorzeichen haben, und der letzte wieder ein -
Sebi
14-10-2002, 22:38
hmm, Alex_K ich glaub ich hab den Fehler den wir beide gemacht haben, also zumindest ich... wir haben eben gescheiterweise grechnet dass das kgV von 2 und 6 12 ist... isses aber nicht, sondern eben 6... auch hat drei und 6 als kgv 6...
also ich glaub da hab ich sicher was falsch, und ich hab das selbe ergbenis wie du, also... :)

zurück ans zeichenbrett :)
wolfi
14-10-2002, 22:52
oi! so ein mist ... ebenfalls den gleichen Fehler ...

w.
Sebi
14-10-2002, 23:27
jo, also jetzt komm ich auch auf das Ergebnis mit 526 zum schluss :)

ich hoffe nur ich muss das mit dem kgV nicht erklären.... warum und so.. das hab ich noch nicht so ganz sicher... :)
Nucle
14-10-2002, 23:49
welchs ergebnis stimmt jetzt wirklich ?

hmm danke für deine antwort nur hab ich einfach abgerundet - hmm aber bei mir kommt 99989512 raus

komisch wieso eigentlich jeder was anderes raus bekommt.

-------
aja -> excel ist ja auch nicht schlecht habe dadurch kontrolliert wieviele zahlen doppelt vorkommen.

hab zb 30 Elemente nach unten gezogen und dann hab ich einfach n^3 und n^5 verglichen wieoft eine element doppelt vorkommt, dann ausgerechnet. Dadurch wusste ch dann ob das auch stimmt. Is nur ein versuch gewesen*gg*
-----
wolfi
15-10-2002, 00:35
postinginhalt sinnlos da die frage weg editiert wurde...

w.
Alex_K
15-10-2002, 17:11
Original geschrieben von Sebi
hmm, Alex_K ich glaub ich hab den Fehler den wir beide gemacht haben, also zumindest ich... wir haben eben gescheiterweise grechnet dass das kgV von 2 und 6 12 ist... isses aber nicht, sondern eben 6... auch hat drei und 6 als kgv 6...
also ich glaub da hab ich sicher was falsch, und ich hab das selbe ergbenis wie du, also... :)

zurück ans zeichenbrett :)

ja, genau das war auch mein problem.
ich hab jetzt auch 99989526 als ergebnis.
VipertheSniper
16-10-2002, 13:20
Original geschrieben von Alex_K
hm,

ich berechne n mit:

n=10^8 - |A1| - |A2| - |A3| - |A4| + |A1nA2| + |A1nA3| + |A1nA4| + |A2nA3| + |A2nA3| + |A3nA4| - |A1nA2nA3| - |A1nA2nA4| - |A2nA3nA4| - |A1nA3nA4| + |A1nA2nA3nA4|

|A1|=10000
|A2|=464
|A3|=39
|A4|=21
|A1nA2|=21
|A1nA3|=6
|A1nA4|=4
|A2nA3|=3
|A2nA4|=2
|A3nA4|=1
alle anderen terme sind auch 1


Das hier ist sehr hilfreich... das selbe Ergebnis habe ich auch... falls jemand aus der ersten Antwort in diesem Thread nicht ganz schlau wird wie man sich die Schnittmengen der Mengen A1 bis A4 (nur die hier angegebenen, also A1nA2,etc.) ausrechnet, hier ist mein Ansatz:
A1nA2 = 464^1/2 = 21.xxx
die Nachkommastellen weglassen und ihr habt schon die erste Schnittmenge... sie enthält 21 Elemente... 1, 4, 9... und alle anderen 18 Quadratzahlen bis 464 (fragt mich jetzt nicht nach der letzten) weil x^3/2 = x*x^1/2... das heisst nur Quadratzahlen liefern hier ein ganzzahliges Ergebnis und das wollen wir doch alle *g*
A1nA3 = 39^1/2 = 6.xxx
6 Elemente
usw...

Eine Frage hab ich noch... wieso sind alle anderen Schnittmengen... also A1nA2nA3, A1nA2nA4,etc... 1
Bei A1nA2nA3nA4 weiss ich auch warum, weil die A3nA4 =1 ist... das selbe gilt für A1nA3nA4 und A2nA3nA4...
was aber ist mit A1nA2nA3 und A1nA2nA4??

Hast du sie abgezählt?? Die Schnittmengen sind ja nicht so gross das man das nicht könnte...

Wie kann ich ohne abzählen die A1nA3nA3 und A1nA2nA4 bestimmen...

Das Ergebnis sollte eigentlich 99989510 sein und stimmen (mit meinen selbst abgezählten Schnittmengen)
VipertheSniper
16-10-2002, 13:26
haha bin schon drauf gekommen wie man die restl. Teilmengen macht... bin selber erst jetzt draufgekommen das ja nicht umbedingt nur zwei Zahlen miteinander in der Potenz multipliziert werden müssen.... wie in der ersten Antwort beschrieben... Danke für alles...
ibins
16-10-2002, 15:10
so, nach langem herumrechnen kommt bei mir auch 99 989 526 heraus. dürfte wohl stimmen, wenn mehrere auf die Lösung kommen....
wolfi
16-10-2002, 15:29
dito

w.
VipertheSniper
16-10-2002, 16:20
Leute wie kommt ihr auf 99 989 526??
Könntet ihr mal anschreiben wie ihr die Teilmengen aufsummiert und subtrahiert habt... würde mich jetzt echt interessieren, nachdem doch einige unterschiedliche Ergebnisse rausgekommen sind...

Ich komm nämlich nur auf ein Ergebnis und das hab ich hier schon gepostet... und das ist mit den korrekten (zumindest komm ich auf keine anderen mit den Methoden die hier beschrieben sind) Teilmengen gerechnet...
Seid ihr sicher das ihr alle Vorzeichen richtig gesetzt habt?
Denn von etwas anderem kann der Ergebnisunterschied kaum herkommen, vorausgesetzt wir haben alle mit den gleichen Teilmengen gerechnet.

Klärt mich auf ;)

Und was soll das mitm' kgV... braucht man doch garnich...


Falls ihr einen Rechner habt der das kann... (oder ein Programm) lasst euch mal die Elemente der Teilmengen <---hoppla Schnittmengen muss das heissen (ich denke da an die Mengen A1nA2, A1nA3, A1nA4, A2nA3, A2nA4 und A3nA4) ausgeben... da die eh nicht so gross sind kann man relativ leicht bestimmen ob da vielleicht ein paar Elemente fehlen...
VipertheSniper
16-10-2002, 17:21
OK jetzt hab ichs... A4 is ne Teilmenge von A1nA2... richtig??
Dann hätte ich zumindest das richtige Ergebnis... wenn man bedenkt das auch A1nA4 eine Teilmenge von A1nA2 is genauso wie A2nA4....
Das war ne schwere Geburt...
ok ok man braucht das kgV...
Finds nur lustig das A1nA4 nur 4 Elemente hat... und nicht auch 21... genauso A2nA4 müsste auch 21 Elemente haben... wenn A4 Teilmenge von A1 und A2 ist
Das muss ich jetzt mal verifizieren.. kleiner Moment... ok das dürfte stimmen... scheint so als müsst ich nochmal die Schnittmengen berechnen... naja... also hab jetzt alles nochmal verifiziert... ok die Schnittmengen stimmen jetzt.
Mihi
16-10-2002, 17:25
Mit dem kgV ermittelt die Anzahl der Zahlen die in den jeweiligen Potenzen vorkommen (also bei 6 eben die die in 2 und in 3 und natürlich auch in 6 vorkommen)
Da wir das |A1nA2| abziehen müssen wir also (10^8)^(1/6) abziehen.

Ich hoffe das war irgendwie verständlich.

Trotzdem verstehe ich nicht, warum man die 6. Potenz weglassen muss - wenn ich sie drinnen lasse sollte doch kein anderes Ergebnis herauskommen? Ich bekomme dann aber immer 99989525 - hat das mal jemand versucht? Ohne der 6. Potenz bekomme ich auch 99989526.

lg
Michi
wolfi
16-10-2002, 18:33
Ich poste heute abend einen Loesungsweg als PDF ... dann kannst es dir anschauen ...

Allerdings bitte nicht einfach zum Abschreiben verwenden, damit haut's euch nicht nur selbst rein falls ihr eure Loesung erklaeren muesst, wenn zuviele idente Loesungswege (also haargenau mit gleichem Layout und Mengendefinitionen etc.) auftauchen reitet ihr damit noch andere in die Sch..... ...

w.
Lara
16-10-2002, 20:57
Ich bekomm auch 99989526 raus...
VipertheSniper
16-10-2002, 20:57
@mjakl: Sicher das dir nicht irgendwo ne 1 abhanden gekommen ist??
Denn eigentlich sollte das selbe rauskommen... nachdem du es einmal abziehst, wieder dazuzählst und dann nochmal abziehst... darfst allerdings beim addieren nicht die Mengen A1nA4 und A2nA4 dazugeben, weil du das ganze ja eh schon mit A1nA2 dazugegeben hast
ebirn
16-10-2002, 20:58
die Geschworenen mögen meine vorherige Aussage ignorieren!
Tom
16-10-2002, 21:15
Hallo!

Was ich noch hinzufügen wollte:

Die Gedanken, ob (Schnitt-)Mengen nun eine Teilmenge einer anderen (Schnitt-)Menge sind und man diese Menge daher nicht addieren/subtrahieren soll, kann man sich ersparen, da das für das Inkl-Exkl-Prinzip nicht von Belangen ist, daher wenn man's einfach stur in die Formel einsetzt kommt auch das Richtige raus.

Hier dazu mein Ergebnis:

100000000
-10000-464-39-21
+21+6+21+3+21+1
-1-21-1-1
+1
=99989526

MfG,
Thomas
wolfi
16-10-2002, 22:16
Puh ... das Ganze in LaTeX einzutipseln kann doch ein wenig dauern, besonders wenn man mit dem Teil noch nie vorher gearbeitet hat ... ;)

Wie auch immer, den kompletten Loesungsweg als PDF kann man sich jetzt unter
http://www.greyknight.net/studium/mathe/407.pdf anschauen.

w.
Tiniiiii
16-10-2002, 23:10
Suuperriesengroßes Danke allen Genies hier!
Wäre morgen wohl mit nem falschen Beispiel zur Übung gewandert, wenn ich da jetzt nicht mehr reingeschaut hätte ... Thanx!!!
Tom
16-10-2002, 23:16
@wolfi: dein ergebnis stimmt, aber du hast trotzdem einen kleinen fehler:

kgV(2,5,6) = 30 nicht 60 (2*15=30, 5*6=30, 5*5=30)
kgV(3,5,6) = 30 nicht 90 (3*10=30, 5*6=30, 6*5=30)
kgV(2,3,5,6) = 30 nicht 180 (2*15=30, 3*10=30, 5*6=30, 6*5=30)

dein ergebnis stimmt aber da sowohl 30. als auch 180. wurzel aus 10 hoch 8 abgerundet 1 ergibt.
wolfi
16-10-2002, 23:59
Oh danke sehr... :)

PDF File sollte jetzt korrigiert sein.

w.