bsp 333 - verständnisproblem

[maxi]

habe keine idee, wie ich die stetigen stellen berechen soll ...

@333
den graphen zeichnen ist nicht so schwer: 2 diagonalen durch Nullpunkt, unterbrochen im Abstand pi (wobei im bereich +y beim Nullpunkt begonnen wird, im bereich -y bei -pi) und auf gesamter x-achse jedes k*pi (k= 0,+-1,+-2,....) ein Nullpunkt ist ...

nun weiss ich nicht, wie ich die (unendlich vielen) stetigen stellen systematisch berechnen/beweisen kann

(gilt analog f. 332 - was ich aber noch nicht gezeichnet habe)

bitte um hinweise

[Paulchen]

sind g(x) und h(x) zwei reellwertige funktionen reeller veränderlicher, die an der stelle x0 aus R stetig sind, so ist auch das produkt dieser beiden funktionen g(x)*h(x) an der stelle x0 stetig. hier ist g(x)=x, und das ist für ganz R stetig; h(x)=sgn(sin(x)), und die sgn(y) ist an y=0 unstetig. somit ist einmal gezeigt, dass sgn(sin(x)) an R\{n*pi|n aus Z} stetig ist. g(x) stetig, h(x) stetig => g(x)*h(x) ist allerdings nur eine hinreichende bedingung, und keine notwendige bedingung, daher müssen die stellen, wo x ein vielfaches von pi ist, noch separat untersucht werden.

für x=0 hab ich ehrlich gesagt noch keine ahnung, wie man die dortige stetigkeit zeigen könnte, für x0=n*pi, n aus Z\{0} könnte ich mir vorstellen, die unstetigkeit entweder zu zeigen, indem ich zwei folgen habe, welche gegen dieses x0 konvergieren, die funktionswerte dieser folgen allerdings gegen unterschiedliche werte konvergieren, oder zu zeigen, dass es nicht für jedes delta>0 ein epsilon>0 in abhängigkeit von diesem delta gibt, sodass für alle x in k(x0,epsilon) f(x) in k(f(x0),delta) liegt.

[RubyX]

für x=0 hab ich ehrlich gesagt noch keine ahnung, wie man die dortige stetigkeit zeigen könnte

Könnte man das nicht so zeigen:
Es gilt: f(x) ist in x=0 stetig, wenn lim f(x) (x->0) existiert und gleich f(0) ist.

Also berechnen wir lim f(x) (x->0): sinx geht gegen 0, wenn x gegen 0 geht; sgn(0)=0; 0*0=0. Also ist der lim gleich 0 = f(0). Daher stetig in 0.


Und zu x0 als Vielfaches von pi...

Am besten ist wahrscheinlich, irgendwie zu zeigen, dass |f(x)-f(x0)| nur für x=x0 kleiner als epsilon sein kann, egal welches epsilon man wählt... intuitiv und auch grafisch ist es klar. Aber beim Rechnen...
Wenn man ansetzt:
|x*sgn(sinx)-x0*sgn(sinx0)|<e
x0 ist ja ein Vielfaches von pi, also ist sinx0=0:
|x*sgn(sinx)|<e
und dass muss gelten für alle x, sodass |x-x0|<d, d=f(e,x0), d>0

Es gilt aber nur für |x-x0|=0 (denn dann ist x*sgn(sinx) auch 0, und damit kleiner als jedes e>0), also kann man kein d>0 finden. Nur wie komme ich von
|x*sgn(sinx)|<e
auf das? Wahrscheinlich ist es trivial, aber ich stehe irgendwie an...

[Paulchen]

Am besten ist wahrscheinlich, irgendwie zu zeigen, dass |f(x)-f(x0)| nur für x=x0 kleiner als epsilon sein kann, egal welches epsilon man wählt...ich wähle nun x=x0+n*pi, und auf einmal ist |f(x)-f(x0)|=0, also kleiner als jedes noch so kleine epsilon>0. so kanns also nicht gehen.
|x*sgn(sinx)|<e
nachdem e ja größer als 0 sein muss (sonst wäre die bedinung ja überhaupt nicht erfüllbar), ist diese bedingung ja auch erfüllt, wenn gilt: x*sgn(sinx)=0. und da kann ich für x alle vielfachen von pi einsetzen, und diese bedingung ist erfüllt. damit ist auf jeden fall gezeigt, dass du ab der oben zitierten bedingung richtig gerechnet hast, insgesamt der ansatz aber falsch ist.

[RubyX]

ich wähle nun x=x0+n*pi, und auf einmal ist |f(x)-f(x0)|=0, also kleiner als jedes noch so kleine epsilon>0. so kanns also nicht gehen.

Aber es ist ja nicht so, dass du ein beliebiges x *wählen* kannst, sondern es muss für *alle* x aus der Kugelumgebung gelten. Wenn du x=x0+n*pi wählst, dann muss es auch für alle Werte zwischen x0 und x gelten, und das ist offensichtlich nicht der Fall (Gegenbeispiel x=x0+1/2*pi).

[Paulchen]

wie wäre es, wenn ich sagen würde: es muss nach der definition der umgebungsstetigkeit von x0 für jede delta-umgebung um f(x0) eine epsilon-umgebung um x0 geben, sodass f.a. x aus der epsilon-umgebung die f(x) in der delta-umgebung liegen. nun ist x0=n*pi, also ist f(x0)=0. nun nehme ich delta=x0/2 an (am graphen ist sofort erkennbar, dass es f(x) gibt, die nicht in dieser delta-umgebung liegen, egal, wie klein ich epsilon annehme). des weiteren nehme ich epsilon=x0 an, dann gibt es sicher f(x), die in dieser kugelumgebung liegen (außer f(x0) ). nun zeige ich, dass es ein f(x1) mit x0-epsilon=0<x1<x0 gibt, sodass |f(x1)|>delta ist.

sei x1 eine reelle zahl, für die es keine darstellung der form n*pi, n aus Z, gibt. dann ist |f(x1)|=|x1|, da sgn(sin(x1)) entweder -1 oder +1 und der betrag damit 1 ist. nun soll |x1|>delta gelten; nun brauche ich nur x0/2<x1<x0 annehmen, dann liegt x1 zwar in der epsilon-umgebung, f(x1) allerdings nicht in der delta-umgebung.

EDIT: hat nur mehr den kleinen schönheitsfehler: man kann ja sagen: nimm halt epsilon nicht so groß an, vielleicht liegen ja dann alle f(x) in der delta-umgebung... :mad:

EDIT: oder ich nehme zunächst epsilon=x0/2 an, und zeige dann, dass f.a. x1, für die x0/2<x1<x0 gilt: |f(x1)|>delta. daher kann ich epsilon auch noch so klein wählen, es wird immer ein f(x1) geben, das nicht in der delta-umgebung liegt. hmmmm....

[RubyX]

EDIT: oder ich nehme zunächst epsilon=x0/2 an, und zeige dann, dass f.a. x1, für die x0/2<x1<x0 gilt: |f(x1)|>delta. daher kann ich epsilon auch noch so klein wählen, es wird immer ein f(x1) geben, das nicht in der delta-umgebung liegt. hmmmm....

Klingt gut... aber zeigen, dass es für alle x1 gilt, ist halt auch immer so eine Sache...

Eine andere Möglichkeit wäre eben noch die Folgenstetigkeit... d.h. zeigen, dass entweder in allen x=n*pi der Grenzwert nicht existiert, oder zwar existiert, aber nicht gleich dem Funktionswert ist...


Die Beispiele diese Woche sind nicht ohne... :shinner: noch dazu sind wir Mittwochler ab jetzt die erste Gruppe, die jede Runde von Beispielen machen darf (also andere als Vorlage nehmen ist nicht mehr)...

[Raiden]

BSP 332

geht das: f(x) in x0 stetig wenn lim x->x0 f(x) = f(x0)

f(x) = sgn( sin (x) )

x0 = ein vielfaches von PI

lim x->x0 f(x) ist entweder 1 oder -1 abhängig von x aber es wird nie 0 da wir nie x0 einsetzen

hingegen ist f(x0) = 0

daher Punkte die ein vielfaches von PI sind nicht stetig

[glubschi]

grrr. i kapier da von anfang bis ende nit, wie das gehen soll.. hat irgendwer vielleicht da sei bsp digital oder so??? i check nit, wie i da vorgehen muss.... :(
warum is zb sign(y) (??) in x=0 unstetig?
i mein - i kann sagen, dass bei x=n*pi unstetige stellen sind - aber das kann ICH nicht beweisen... :(

[fago]

geht mir genauso @glubschi :(

wie rechnet man überhaupt mit lim x->x0 ?!?

332: für x=1 und x=-1 sollte die funktion ja stetig sein,
also lim x->x0=1 von (x²-1) = 0 da lim x² = 1? :shinner:

[glubschi]

wie kann i über die stetigkeit von x²-1 aussagen????
für mi wär de stetig, weil sie eben keine sprünge hat... aber wie kann ichs beweisen?

[glubschi]

die gesamtfunktion hat unstetige stellen an allen x element Z, oder?

das kann i mitm sign(sin(pi*x)) zeigen, dass dort unstetige stellen sind - über die kugelumgebungen. damit muss aber auch x²-1 stetig sein - aber wie kann ich das beweisenn.....?!?!?!

[RubyX]

Damit wenigstens die späteren Gruppen etwas davon haben:

Man braucht gar nix beweisen. Graphen zeichnen, erklären wie man darauf kommt, argumentieren, wo die Funktion stetig ist. Fertig.

Und ja, das war tatsächlich die Baron'sche Musterlösung. Sollte also bei den anderen Leitern erst recht reichen.