bsp 340

[maxi]

man untersuche auf stetigkeit in IR^2 -> IR^2 ...
das mit dem hinweis ist mir unklar, weil ich es mit polarkoordinaten gelöst habe (orientiert habe ich mich hier (http://www.rz.rwth-aachen.de/mata/veranstaltungen/ana2.php) (Kapitel 3) -bei den klausuren sind auch ähnl. beispielslösungen ...):

wenn lim[r ->] ( f(x,y) - f(0,0) ) = 0, dann ist f im nullpunkt stetig
wobei: x = r*cos(phi) , y = r*sin(phi)

ich erhalte ein von r abhängiges resultat: lim[r->0] r*(....)
also wenn r -> 0 strebt, ist lim 0 und f stetig (weil nicht winkelabhängig)

hm - hoffe, dass ich da keinen oargen denkfehler drinnen habe - wie gesagt, der hinweis wird bei meiner lösung nicht verwendet

bitte um feedback, ob dieser lösungsweg stimmen kann

[RubyX]

Ich bin bis jetzt nur so weit, dass f(x,y) offensichtlich eine rationale Funktion ist (Polynomfunktion durch Polynomfunktion) und damit stetig, wenn der Nenner ungleich 0 ist. Was natürlich für (x,y)!=(0,0) auch gegeben ist, also ist f(x,y) auch für alle diese Fälle stetig. Also müssen wir nur den Fall (0,0) näher behandeln.

Im Buch gibt's ein ähnliches Beispiel (Seite 56f), wo auch Polarkoordinaten verwendet wurden, also könnte dein Lösungsweg durchaus stimmen...

[Raiden]

es ist doch IR^2 -> IR und nicht IR^2 -> IR^2

wie ist das in der Angabe zu verstehen (x,y) != (0,0) u. f(0,0) = 0 ??

[RubyX]

wie ist das in der Angabe zu verstehen (x,y) != (0,0) u. f(0,0) = 0 ??

Naja, wenn x und y beide 0 sind, ist ja der Bruch nicht definiert (Nenner wäre 0). Deswegen erweitern wir die Funktion stetig in (0,0) hinein, indem wir für (0,0) einen Wert definieren, nämlich 0.

Ich glaube, ich habe eine bessere Lösung gefunden, weil sie auch den Hinweis verwendet:

lim f(x,y) für (x,y)->(0,0) soll existieren und 0 sein, dann ist f in (0,0) stetig.
Umgeformt:
lim |f(x,y)-f(0,0)| für (x,y)->(0,0) soll 0 sein.
|f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=|(xy^2+x^2y)/(x^2+y^2)|
Unter Anwendung von a+b>=2*sqrt(ab):
|(xy^2+x^2y)/(x^2+y^2)|<=|(xy^2+x^2y)/2xy|= (Kürzen)
=|(y+x)/2|
lim |(y+x)/2| (x,y)->(0,0) = 0

Also ist f stetig in ganz R.

Das ist das, was in dem oben verlinkten Dokument als "Abschätzung durch eine stetige Funktion" vorkommt. Frage ist nur, warum man diese Abschätzung mit dem <= machen darf. Eventuell so eine Art "Majorantenkriterium für Funktionen?"

[Paulchen]

vielleicht kann man das interpretieren als eine art "sandwichmethode", erweitert von folgen auf funktionen:
wenn gilt: b(x)<=a(x)<=c(x) f.a. x aus R, und lim b(x)=lim c(x)=c, dann muss doch auch lim a(x)=c gelten, oder?

hier also: begrenzung von f(x,y) nach unten durch g(x,y)=0 und nach oben durch |(y+x)/2)|. führt zu dem schluss, dass lim f(x,y) (x,y)->(0,0)=0 sein muss.