bsp 313

[maxi]

hm - mein 1. konstruktiver?? beitrag bei mathe:
Idee: prüfen auf konvergenz mit lim-form v. quotientenkriterium, also:
ist |an+1/an| < 1 ? ja, => konvergent ...

1.schritt: einsetzen (die tipperei erspar' ich mir), |x-1| kann ich vorziehen, der rest ergibt lim1 - lim0 -> fazit: |x-1| bleibt übrig

2.schritt: für welche x passiert nun was??
|x-1| < 1 f. alle x, f. die gilt: 0<x<2 => reihe konvergiert f. diese x
|x-1| > 1 f. x<0 od. x>2 => reihe divergiert f. diese x

3.schritt
sonderfälle: x=0 od. x=2
x=0:
(-1)^n* (1/2n-1) => alternierende reihe u. leibnitz kommt dran: man sieht leicht, dass bruch eine nullfolge => also ist reihe konvergent
x=2:
nach einsetzen ist es leicht, eine divergente minorante zu finden: 1/2n => reihe ist divergent

so, für absolut blanke leute evtl. nicht ganz verständlich, aber für alle, die sich (so wie ich zumind. ein bisserl) damit auseinandersetzen, sollte diese lösung nachvollziehbar sein? (ist korrekt, da ergebnis einer 'alten' uebungsstunde)

[Raiden]

ja alles klar.

Alle Beispiele ausser 330 findet man eh bereits gelöst im Forum.

Aber bei 330 hab ich noch keine Ahnung wie das geht :)

[Stephe]

wieso darf ich |x-1| vorziehen? das gilt laut limes-sup-rechenregeln nur für |x-1|>0! daher muss auch |x-1| = 0 beachtet werden, dann ist nämlich der lim sup der gesamten reihe 0

[Musti]

??? wie hast du x-1 vorzieht??? das habe ich nicht verstanden?? kannst du mir einbissle zeigen?? :D

[Stephe]

also ich glaub er hat das so gemeint:

lim sup (an * bn) = b * lim sup an

das ist aber nur der fall wenn b>0 gilt. und das ist bei |x-1| nicht immer der fall, da |x-1| ja auch GENAU 0 sein kann (das ist bei x=1 der fall)

[Raiden]

x-1 ist konstant. daher kann man es vorziehen.

limsup | (x-1) * an |

limsup | an | = 1

bleibt |(x-1)|

[Stephe]

achso..dann hat das nichts mit der lim-sup-rechenregel zu tun..schon kapiert ;-)


aber wie lautet im endeffekt das ergebnis? 0<=x<2? warum betrachten wir überhaupt den ganzen quatsch mit divergente folge und minoraten/majoranten? das brauchen wir doch eh nicht.

reicht ja eigentlich zu sagen, dass es für alle 0<x<2 gilt und für x=0. den rest kann ich mir eigentlich sparen, oder? ist ja nur gefragt wo das ganze konvergiert.

[Raiden]

bei 313 steht ja man soll untersuchen für welche x die Reihe konvergiert.

x = 0 und x = 2 hast du aber beim Quotientenkriterium keinen Entscheid und musst es daher extra noch untersuchen.

[Stephe]

ok, jez is alles klaro