Bsp. 274

[Paulchen]

Es ist zu zeigen, dass für a0=0 und an = an-1+1/(n*(n+1)) f.a. n>0 die bedingung an = 1-1/(n+1) f.a. n aus N gilt.

Beweis mittels vollständiger induktion (wie gefordert):
a0=0=1-1/1=0

=> Startwert: n=0

Induktionsschritt: an+1 = an+1/((n+1)*(n+2)) = 1-1/(n+2)

Nun wird der Ausdruck an+1/((n+1)*(n+2)) unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung an = 1-1/(n+1) umgeformt:

an+1 = an+1/((n+1)*(n+2)) = 1-1/(n+1)+1/((n+1)*(n+2)) = 1+(1-n-2)/((n+1)*(n+2)) = 1-(n+1)/((n+1)*(n+2)) = 1-1/(n+2)

und das ist genau das, was beim induktionsschritt für an+1 auf der rechten seite steht, damit ist die behauptung bewiesen.

EDIT (auf hinweis von RubyX): der grenzwert der folge ist 1.

[RubyX]

Vergiss nicht den Zusatz, der noch beim Beispiel steht:

"... und bestimme den Grenzwert."

Ist natürlich nicht wahnsinnig schwierig. Der Grenzwert ist 1.

[maxi]

EDIT (auf hinweis von RubyX): der wert der reihe ist der grenzwert der partialsummenfolge und ist damit 1. jo - ändert eh nix am grenzwert, ABER das ist keine reihe, sondern eine folge

[glubschi]

EDIT (auf hinweis von RubyX): der wert der reihe ist der grenzwert der partialsummenfolge und ist damit 1.

ist das nicht der grenzwert einer folge, der hier behandelt werden soll? weil ich summier die einzelnen folgenglieder ja nit auf oder??
demnach würd ich argumentieren mit: 1 (beschränkte folge, konstant) - (1/(n+1)) (TF von 1/n -> 0) --> lim(an) = 1

[Paulchen]

ist das nicht der grenzwert einer folge, der hier behandelt werden soll? weil ich summier die einzelnen folgenglieder ja nit auf oder??
ähm, ja, da hab ich 2 bsp. durcheinander gebracht... schon korrigiert ;)
demnach würd ich argumentieren mit: 1 (beschränkte folge, konstant) - (1/(n+1)) (TF von 1/n -> 0) --> lim(an) = 1[/QUOTE]
demnach würd ich argumentieren mit: 1 (beschränkte folge, konstant) - (1/(n+1)) (TF von 1/n -> 0) --> lim(an) = 1
genau (und hoffentlich baron-konform) ausformuliert: lim (1-1/(n+1))=lim 1-lim(1/(n+1))=1-0=1