Paulchen
23-04-2005, 18:48
Für die Folge an = (n²*cos(n*π/2)+1)/(n+1)+sin((2n+1)*π/2) sollen alle häufungspunkte ermittelt werden, sowie lim inf sowie lim sup bestimmt werden.
dazu kann man die periodizität von sinus und cosinus heranziehen, also dass sin(2π+a)=sin(a) ist und cos(2π+a)=cos(a).
der ausdruck cos(nπ/2) kann drei verschiedene werte annehmen, und zwar (k ist eine natürliche zahl):
1, wenn n=4k,
0, wenn n=2k+1 oder
-1, wenn n=4k+2.
darauf basierend kann man diese überlegung weiterführen für (n²*cos(n*π/2)+1) und dann für (n²*cos(n*π/2)+1)/(n+1); letzterer ausdruck nimmt folgende werte an:
(n²+1)/(n+1), wenn n=4k,
(1/(n+1)), wenn n=2k+1 oder
(1-n²)/(n+1), wenn n=4k+2.
dieselbe überlegung für den rechten teilausdruck sin((2n+1)π/2):
1, wenn n=2k bzw.
-1, wenn n=2k+1.
insgesamt ergibt das für den ausdruck (n²*cos(n*π/2)+1)/(n+1)+sin((2n+1)*π/2):
(n²+1)/(n+1)+1, wenn n=4k,
(1/(n+1))-1, wenn n=2k+1 oder
(1-n²)/(n+1)+1, wenn n=4k+2.
das sind alles konvergente teilfolgen von an, wie man leicht nachvollziehen kann; jede dieser folgen hat also einen hp (nämlich den grenzwert), und dieser hp muss auch hp von an sein. diese hp sind +unendlich, -1 und -unendlich
lim sup an=+unendlich
lim inf an=-unendlich
dazu kann man die periodizität von sinus und cosinus heranziehen, also dass sin(2π+a)=sin(a) ist und cos(2π+a)=cos(a).
der ausdruck cos(nπ/2) kann drei verschiedene werte annehmen, und zwar (k ist eine natürliche zahl):
1, wenn n=4k,
0, wenn n=2k+1 oder
-1, wenn n=4k+2.
darauf basierend kann man diese überlegung weiterführen für (n²*cos(n*π/2)+1) und dann für (n²*cos(n*π/2)+1)/(n+1); letzterer ausdruck nimmt folgende werte an:
(n²+1)/(n+1), wenn n=4k,
(1/(n+1)), wenn n=2k+1 oder
(1-n²)/(n+1), wenn n=4k+2.
dieselbe überlegung für den rechten teilausdruck sin((2n+1)π/2):
1, wenn n=2k bzw.
-1, wenn n=2k+1.
insgesamt ergibt das für den ausdruck (n²*cos(n*π/2)+1)/(n+1)+sin((2n+1)*π/2):
(n²+1)/(n+1)+1, wenn n=4k,
(1/(n+1))-1, wenn n=2k+1 oder
(1-n²)/(n+1)+1, wenn n=4k+2.
das sind alles konvergente teilfolgen von an, wie man leicht nachvollziehen kann; jede dieser folgen hat also einen hp (nämlich den grenzwert), und dieser hp muss auch hp von an sein. diese hp sind +unendlich, -1 und -unendlich
lim sup an=+unendlich
lim inf an=-unendlich