Bsp. 265

[Paulchen]

Zu bestimmen ist der Grenzwert der Folge an=n*qn für -1<q<0.

Behauptung: lim an=0
Beweis: Verwendet wird die Definition der Konvergenz:
|an-lim an| < ε
lim an=0 => |an| < ε

|an| = |n*qn| = n*|q|n

Laut Angabe gilt 0<|q|<1. |q| kann daher als Bruch der Form 1/(1+k), k aus R, geschrieben werden ( k=(1-|q|)/|q| ).

|an| = n*(1/(1+k))n = n/(1+k)n

(1+k)n >= 1 + nk + (n(n-1)/2)*k² >= (n(n-1)/2)*k² (f.a. n>=2)

=> n/(1+k)n <= n/((n(n-1)/2)*k²) = 2/((n-1)*k²) < ε

=> N( ε ) > (2/(ε*k²))+1

Also konvergiert an gegen 0.

[Stephe]

könnte man dieses beispiel nicht auch so erklären?:

die folge q^n ist aufgrund des intervalls -1<q<0 beschränkt und wird nie größer 1, bzw. ist sogar kleiner als 1. Multipliziere ich nun diese Folge n-mal miteinander kann das nur gegen Null gehen. Hier ist es sogar egal, dass n keine Konstante ist, da die Zahl immer kleiner 1 ist und die Folge nur gegen 0 konvergieren kann. Versteht das wer? *G* bzw. liege ich da richtig?

[Paulchen]

könnte man dieses beispiel nicht auch so erklären?:

die folge q^n ist aufgrund des intervalls -1<q<0 beschränkt und wird nie größer 1, bzw. ist sogar kleiner als 1. Multipliziere ich nun diese Folge n-mal miteinander kann das nur gegen Null gehen. Hier ist es sogar egal, dass n keine Konstante ist, da die Zahl immer kleiner 1 ist und die Folge nur gegen 0 konvergieren kann. Versteht das wer? *G* bzw. liege ich da richtig?für mich würde auch dieser lösungsweg sinn ergeben. ich weiß nur nicht, ob auch für den baron...

[camus]

könnte man dieses beispiel nicht auch so erklären?:


Nach der Argumentation könnte man auch zeigen, dass n*1/n
gegen 0 strebt, weil <1/n> ist beschränkt und strebt sogar gegen 0,
und das ganze n * genommen kann ja dann nur mehr gegen 0 gehen.
Ist aber offensichtlich nicht so. Also wirds dem Baron glaub ich nicht
reichen.:)

[Paulchen]

Eine solche Argumentation geht eben nur mit beschränkter Folge mal Nullfolge.
Und genau dieses Gegenbeispiel hat der Baron sicher gleich bei der Hand, wenn man an der Tafel steht und so argumentiert.

[glubschi]

Laut Angabe gilt 0<|q|<1. |q| kann daher als Bruch der Form 1/(1+k), k aus R, geschrieben werden ( k=(1-|q|)/|q| ).



wie führst du diesen schritt aus?? sagst du das einfach so - oder - wie kommst du da drauf??

[Trux]

2. schlaues Baronbuch - Seite 17

[Stephe]

richtig richtig! ich hab das n vor q^n ganz vergessen. somit wär das ein blödsinn. sorry!

[Paulchen]

wie führst du diesen schritt aus?? sagst du das einfach so - oder - wie kommst du da drauf??
ich kann sicher ein k aus R finden, sodass |q|=1/(1+k) gilt, wenn 0<|q|<1 gilt. k kann in abhängigkeit von |q| nämlich, wie schon erwähnt, berechnet werden als k=(1-|q|)/|q|.

denke schon, dass ich das einfach so machen darf.