Bsp. 268

[Paulchen]

an=n².sqrt(n³+n²)=n².sqrt(n²)*n².sqrt(n+1)

n².sqrt(n²) ist unendliche Teilfolge von n.sqrt(n), also lim n².sqrt(n²)=1.

n².sqrt(n²) ist f.a. n>=2 auch sicher größer als n².sqrt(n+1). des weiteren ist n².sqrt(n+1)>1 f.a. n>0. lim n².sqrt(n+1)=1 und lim 1=1, also muss auch lim n².sqrt(n²)*n².sqrt(n+1)=1 sein.

[Stephe]

wie kommst du von der ersten zeile auf den ausdruck "n².sqrt[n²]*n²"? Woher kommt dieses *n²? :confused:

[Paulchen]

wie kommst du von der ersten zeile auf den ausdruck "n².sqrt[n²]*n²"? Woher kommt dieses *n²? :confused:das ist vielleicht schlecht ausgedrückt.

soll heißen: (n².sqrt(n²))*(n².sqrt(n+1)), wobei n².sqrt(x) die n²-te wurzel von x ist.

[glubschi]

woher bekomst du - siehe Stephe - das *n²?? das gehört eigentlich nicht hierher, odeR? denn kann lim n².sqrt(n²)*n²=1 sein? Das ist ja nicht eine TF von n.sqrt(n) oder? weil in der TF der zweite Faktor (n²) nicht berücksichtigt wird oder?

und wie kommst du drauf, dass n².sqrt(n+1) > 1 f.a. n>0 und der limes davon 1 ist??

[Stephe]

stimmt.. meine frage ist nicht wirklich beantwortet....das n² ghört da meiner meinung nach nicht her

ICH HASSE MATHE

[Paulchen]

an=n².sqrt(n³+n²)=n².sqrt(n²)*n².sqrt(n+1)
ich kann noch nicht ganz nachvollziehen, was hier unverständlich ist.

an = n².sqrt(n³+n²) = (n³+n²)1/n² = (n²*(n+1))1/n² = (n²)1/n²*(n+1)1/n² = n².sqrt(n²) * n².sqrt(n+1)

um es noch einmal zu betonen: n².sqrt(x) ist die n²-te wurzel von x.
und wie kommst du drauf, dass n².sqrt(n+1) > 1 f.a. n>0 und der limes davon 1 ist??
Behauptung: n².sqrt(n+1) = (n+1)1/n² > 1

Daraus folgt:
n+1 > 1n²

1n² ist nun mal 1 f.a. n aus N (nicht für n=unendlich !!), und ab n=1 ist die linke seite sicher größer als 1 (n=0 kann auch schon ausgeschlossen werden, weil es keine 0-te wurzel geben kann.

EDIT: des weiteren ist (n+1)1/n² f. f. a. n sicher kleiner als (n²)1/n². nun ist der lim (n²)1/n²=1, und lim 1=1. die folge (n+1)1/n² ist also von den beiden folgen (n²)1/n² und 1 "eingeschlossen", die limiten der beiden folgen sind beide 1. der limes der folge (n+1)1/n² muss zwischen diesen beiden limiten liegen, kann also nur 1 sein ("sandwichmethode").

alle klarheiten beseitigt? ;)

[Stephe]

an=n².sqrt(n³+n²)=n².sqrt(n²)*n².sqrt(n+1)

[ um diesen ausdruck gehts -> ] n².sqrt(n²)*n² [ <- um diesen ausdruck gehts] ist unendliche Teilfolge von n.sqrt(n), also lim n².sqrt(n²)*n²=1.



ich will diese unendliche frage nicht auf die spitze treiben. die frage war nur woher dieses *n² NACH dem ausdruck n².sqrt(n²) in der 2. Zeile des Posts herkommt. Anscheinend ein Tippfehler. Denn entweder du wolltest nur n².sqrt(n²) schreiben oder den ganzen Ausdruck n².sqrt(n²)*n².sqrt(n+1)

hoffe das is jez klar ;-)

[Paulchen]

achso, jetzt ist mir alles klar

das nenn ich einen copy&paste-fehler; ist mir gar nicht aufgefallen, und auf der leitung bin ich auch gestanden

werds gleich ausbessern :thumb:

[josef]

an = (n³+n²)1/n²
Könnte man nicht einfach argumentieren das 1/n² eine TF von 1/n ist, somit gegen 0 konvergiert, dann folgt
(n³+n²)0
und weil
n³+n² > 0
konvergiert an gegen 1.
gibts einen schwachpunkt in dieser argumentation?

[Paulchen]

ja: du kannst nicht bei einem teil des ausdrucks zum grenzwert übergehen und bei einem anderen teil nicht. hier gilt die devise: alles oder nichts.

wenn du aber im ganzen ausdruck zum grenzwert übergehst, steht da unendlich hoch 0, und das ist ein unbestimmter ausdruck