Bsp. 270

[Paulchen]

an = 1/(n+1)² + 1/(n+2)² + ... + 1/(n+n)²

bn = 1/(4n²) < an f.a. n>1; lim bn=0

f.a. n>1 gilt: an < 1/(n+1)² + 1/(n+1)² + ... + 1/(n+1)² = n/(n+1)² <= n/n² = 1/n

cn = 1/n > an; lim cn=0

bn < an < cn und lim bn = lim cn=0, also lim an=0.

[RubyX]

Könnte man als bn nicht einfach die konstante Folge 0 nehmen? Ist auch sicher kleiner als an und konvergiert gegen 0...

[Paulchen]

Könnte man als bn nicht einfach die konstante Folge 0 nehmen? Ist auch sicher kleiner als an und konvergiert gegen 0...selbstverständlich. das geht natürlich auch.

[i8634140]

glaubts nit auch das da baron da irgendwie an beweis verlangen wird warum dies oder das gr. oder kl. ist??? denn immerhin hat man bei ihm schon die periodizität des sinus beweisen müssen (das er die periode 2pi hat) also denk ich mal wird er das so nit gelten lassen

[klausi]

f.a. n>1 gilt: an < 1/(n+1)² + 1/(n+1)² + ... + 1/(n+1)²


na dann versuch das mal zu beweisen beim baron

mfg klausi

[Paulchen]

na dann versuch das mal zu beweisen beim baron

mfg klausi
glaubt ihr, reicht das für den baron?

an = 1/(n+1)² + 1/(n+2)² + ... + 1/(n+n)²

Betrachten wir 1/(n+1)² > 1/(n+a)², a aus {1, 2, ..., n}.

wegen n>=0 darf ich:
(n+a)² > (n+1)²

n² + 2an + a² > n² + 2an + 1

ist äquivalent zu:

a² > 1

und das gilt für alle a>1.

des weiteren gilt: a+b > c+d, wenn a>c und b>d mit a,b,c,d aus R (und das ist zwar nicht auf unendlich viele summanden erweiterbar, aber mit hilfe der assoziativität der addition im bereich der reellen zahlen immerhin auf endlich viele summanden).

haben wir also zwei terme
C = c1 + c2 + c3 + ... + ck und
D = d1 + d2 + d3 + ... + dk,
k aus N,
und gilt für jedes j<k, j>0 cj > dj,
so gilt daher C > D. das heißt: ist jeder summand von D kleiner als die entsprechenden summanden von C, dann ist D > C.

Sei nun
an = 1/(n+1)² + 1/(n+2)² + ... + 1/(n+n)²

Und das soll kleiner sein als 1/(n+1)² + 1/(n+1)² + ... + 1/(n+1)², und zwar für alle n>1 (im falle von n=1 würde zu beiden seiten der ungleichung dasselbe stehen, und die aussage wäre daher falsch).

wir wissen also:
1/(n+1)² = 1/(n+1)²
1/(n+2)² < 1/(n+1)²
1/(n+3)² < 1/(n+1)²
...
1/(n+n)² < 1/(n+1)²

nun ist jeder der ausdrücke auf der linken seite (mit ausnahme des ersten) kleiner dem entsprechenden ausdruck auf der rechten seite. gemäß dem, was oben gezeigt wurde, muss daraus folgen:

1/(n+1)² + 1/(n+2)² + 1/(n+3)² + ... + 1/(n+n)² < 1/(n+1)² + 1/(n+1)² + 1/(n+1)² + ... + 1/(n+1)²

und das gilt f.a. n>1.

[i8634140]

und wegn dem bn beweisen das das kl ist habe ich:

1/4n² < an

Ind. Start: n=2; kann jeder selbst ausrechnen das das stimmt

IA: 1/4n² < an
IB 1/4(n+1)² < an+1 (n+1 is im index)
=> 1/4(n+1)² < 1/(n+2)²+1/(n+3)²+....+1/(2n+2)²

da aber 1/4(n+1)² gleich 1/(2n+2)² ist muss die rechte seite größer sein
somit ist der beweis komplett

[Raiden]

`:= hoch

also ich hab einfach

bn <= an <= cn

bn = 1 / (n+1)`2

cn = 1 / n`2 * n = 1 / n

da 1 / n`2 grösser ist als jeder einzelne Summand von an

1 / (n+1)`2 <= an <= 1/n