Bsp. 272

[Paulchen]

an = (n²+1)/(n³+1) + (n²+2)/(n³+2) + ... + (n²+n)/(n³+n)

f.a. n>1 gilt:
an < (n²+n)/(n³+1) + (n²+n)/(n³+2) + ... + (n²+n)/(n³+n)
< (n²+n)/(n³+1) + (n²+n)/(n³+1) + ... + (n²+n)/(n³+1) =
= n*(n²+n)/(n³+1) = (n³+n²)/(n³+1) = cn

lim cn=1.

f.a. n>1 gilt weiters:
an > (n²+1)/(n³+n) + (n²+2)/(n³+n) + ... + (n²+n)/(n³+n)
> (n²+1)/(n³+n) + (n²+1)/(n³+n) + ... + (n²+1)/(n³+n) =
= n*(n²+1)/(n³+n) = (n³+n)/(n³+n) = bn

lim bn=1.

bn < an < cn und lim bn = lim cn=1, also lim an=1.

[Xeraa]

ich bin jetzt total verwirrt, aber wieso konvergiert es genau nach 1?

ich hätte auf anhieb einmal jedes teilglied der summe auf seine konvergenz überprüft, also: (n²/n³ + 1/n³)/(n³/n³ + n/n³) --> 0/1, Nullfolge; ...
also habe ich dann eine summe von n nullfolgen. kommt da nicht wieder eine nullfolge heraus oder ist das ganz falsch?

[bassist]

ich glaub bei den umformungen von bn ist dir ein kleiner fehler passiert:

n*(n²+1)/(n³+n) = (n²+1)/(n²+1) = bn

wenn du das n "reinmultiplizierst", dann mit dem nenner, und nicht mit dem zähler, also müsste doch eigentlich stehen:

n*(n²+1)/(n³+n) = (n³+n)/(n³+n) = bn

vielleicht stimmts eh und ich kann einfach nicht mehr multiplizieren. auf jeden fall hab ich das so gerechnet und es kommt auch lim 1 raus.

[Paulchen]

also habe ich dann eine summe von n nullfolgen. kommt da nicht wieder eine nullfolge heraus oder ist das ganz falsch?die summe unendlich vieler nullfolgen muss keine nullfolge sein (der grenzwertsatz für summen reeller zahlenfolgen ist auf diesen fall nicht anwendbar).

einfaches gegenbeispiel:
sei a1=1/1=1, a2=1/2+1/2=1, ..., an=1/n+1/n+...+1/n=n/n=1

für an würde hier die summe (beim limes unendlich) vieler nullfolgen vorliegen, und trotzdem konvergiert die folge gegen 1 (hoffentlich leicht einzusehen ;) ).

ich glaub bei den umformungen von bn ist dir ein kleiner fehler passiertdas ist korrekt, danke für den hinweis, werds gleich ausbessern :thumb:

[Raiden]

hier hab ich

n`2 / (n`3 + n) ist kleiner als jeder einzelne Summand von an

cn = n`2 / (n`3 + n) *n

cn -> 1

(n`2 + n) / n`3 ist grösser als jeder einzelne Summand von an

bn = (n`2 + n) / n`3 * n

bn -> 1

cn <= an <= bn