Bsp. 5 - 13.4.2005

[Paulchen]

den gegebenen ausdruck hab ich zerlegt in n sqrt(n5)*1/(5 sqrt(5n)).

(n sqrt steht für die n-te wurzel, 5 sqrt für die fünfte wurzel)

1/(5 sqrt(5n)) ist sicher größer als 0, also ist die konstante folge <0> f.a. n kleiner als diese wurst. andererseits ist 1/n f.a. n größer als diese wurst, weil:

1/n > 1/(5 sqrt(5n))

5 sqrt(5n) > n

5n > n5

und das kann mit hilfe vollständiger induktion gezeigt werden (aber nicht in diesem forum ;) ). da nun lim 0=0 und lim 1/n=0 ist, muss auch lim 1/(5 sqrt(5n))=0 sein (stichwort sandwichmethode).

weiters kann man zeigen, dass n sqrt(n5) beschränkt ist; sei zum beispiel

n sqrt(n5) < 5

dann gilt:

n5 < 5n

und das dass stimmt, wurde weiter oben bereits bewiesen

andererseits ist n sqrt(n5) immer größer als 0; folglich ist diese folge beschränkt.

um schließlich auf n sqrt(n5)*1/(5 sqrt(5n)) zurückzukommen: hier liegt wieder einmal das produkt aus einer beschränkten folge und einer nullfolge vor, also liegt insgesamt eine nullfolge vor.

[Greedy_Raccoon]

ich bin auf folgendes gekommen

n(sqrt n^5) / 5(sqrt 5^n) = (n^5/n) / (5^n/5)

sodala (n^5/n) ist eine beschränkte folge mir ist nur nicht klar wie ich das beweise
5^n/5 ist eine unbeschränkte ... also eine uneigentlich konvergente folge geht gegen unendlich.

also haben wir eine beschränkte folge durch eine unbeschränkte folge und das muss gegen 0 gehen
weiß nur noch nicht wie man das formell richtig beweist

[Paulchen]

das ist eh dasselbe, was ich auch gemacht hab. dass n5/n beschränkt ist, zeigst du, indem du zeigst, dass es einerseits immer >0 und andererseits immer <5 ist (siehe mein posting oben)

und wenn im nenner 5n/5 steht, kannst du das auch schreiben als 1/(5n/5), und das ist eine nullfolge

insgesamt also beschränkte folge*nullfolge=nullfolge (q.e.d.)

[fago]

ich hab das aufgeteil in 2 teilfolgen.
n^(5/n) konvergeriert gegen 1 da n^(1/n) gegen 1 konvergiert

(1/5)^(n/5) ist eine nullfolge, gezeigt mittels "normalem" konvergenzkriterium

1*0=0

[MadLoki]

1/n > 1/(5 sqrt(5n))

5 sqrt(5n) > n

5n > n5


naja, aber 5n > n5 stimmt nicht da 52 < 25
(25 ist kleiner als 32)

[Paulchen]

das gilt auch erst ab einem startwert von n=5 oder so (auch auf das kommst du mittels vollständiger induktion).

[Lacce]

das gilt auch erst ab einem startwert von n=5 oder so (auch auf das kommst du mittels vollständiger induktion).

eigentlich ab n=6, da für n=5:
5^5 = 5^5

-Thomas

[Paulchen]

drum hab ich ja geschrieben: "n=5 oder so" ;)

[Lacce]

drum hab ich ja geschrieben: "n=5 oder so" ;)
alles klar :p

-Thomas