Bsp. 4 - 13.4.2005

[Paulchen]

Ich hab das so gemacht:

(n+1)n-2/nn=((n+1)/n)n * 1/(n+1)²

nun konvergiert ((n+1)/n)n gegen e, ist also beschränkt, und der andere mist ist eine nullfolge, also liegt insgesamt eine nullfolge vor.

[Raiden]

Wie zeigst du, dass das gegen e konvergiert?

[Stephe]

wüsst ich auch gern. ich hab einen anderen lösungsansatz:

wir zerlegen die folge in:
(n+1)/n * (n+1)/n * ... * (n+1)/n * 1/n * 1/n
wobei (n+1)/n n-2mal miteinander multipliziert wird

1/n * 1/n ergibt auf jeden fall eine nullfolge. (1/n² ist teilfolge der nullfolge 1/n)
zerlegen wir nun den teil (n+1)/n in folgendes:

(n+1)/n = n/n +1/n

n/n konvergiert gegen 1, 1/n gegen null.

Wir haben also nach den gültigen Rechenregeln: (1+0)*(1+0)*...*(1+0)*0*0 = 0

also ist der limes=0

p.s. scheiss mathe

[camus]

Wir haben also nach den gültigen Rechenregeln: (1+0)*(1+0)*...*(1+0)*0*0 = 0
also ist der limes=0


Das würde funktionieren, wenn Du eine konstante Anzahl von Faktoren
hättest. Diese Anzahl ist aber gleich n, also kannst Du so nicht argumentieren.

Die Eulersche Zahl kann man entweder als
Grenzwert eben dieser Folge (1 + 1/n)^n definieren,
oder als Grenzwert der Reihe sum (1/n!).
Wenn man beide abschätzt, kommt man darauf, dass
sowohl die Folge, als auch die Reihe gegen den gleichen Wert
konvergieren müssen.

Alle, die behaupten, dass (1 + 1/n)^n gegen 1 strebt, kann
man sofort widerlegen, weil diese Folge streng monoton steigend
ist, und das erste Folgenglied schon 2 ist.

[Paulchen]

Wie zeigst du, dass das gegen e konvergiert?es ist einfacher, hier zu zeigen, dass das beschränkt ist, also dass es monoton wächst und eine obere schranke existiert. wie das genau funktioniert, überleg ich mir noch.
wüsst ich auch gern. ich hab einen anderen lösungsansatz:

wir zerlegen die folge in:
(n+1)/n * (n+1)/n * ... * (n+1)/n * 1/n * 1/n
wobei (n+1)/n n-2mal miteinander multipliziert wird

1/n * 1/n ergibt auf jeden fall eine nullfolge. (1/n² ist teilfolge der nullfolge 1/n)
zerlegen wir nun den teil (n+1)/n in folgendes:

(n+1)/n = n/n +1/n

n/n konvergiert gegen 1, 1/n gegen null.

Wir haben also nach den gültigen Rechenregeln: (1+0)*(1+0)*...*(1+0)*0*0 = 0

also ist der limes=0

hier ist das problem, dass (n+1)/n * (n+1)/n * ... * (n+1)/n nicht beschränkt ist; und außerdem ist die gewohnte rechenregel lim (an*bn)=lim an*lim bn hier laut baron nicht anwendbar, da die anzahl der faktoren von n abhängt. da weiters (n+1)/n * (n+1)/n * ... * (n+1)/n mit (n-2) faktoren ja nichts anderes ist als ((n+1)/n)(n-2), sind wir wieder bei dem Problem der Folge, die gegen e konvergiert. :confused: (jetzt kenn ich mich eigentlich selber nimmer aus...)

p.s. scheiss matheda stimm ich dir voll und ganz zu :thumb:

[spooky]

wegen (1+1/n)^n --> siehe Baron-Buch seite 24....

[Stephe]

danke leute das wäre das einzige beispiel gewesen, das ich von dem kas-zettel ghabt hätt ... grrrrrrrrrrr!!!!!!!!!!!!!! den teufel aber auch!

[Raiden]

wegen (1+1/n)^n --> siehe Baron-Buch seite 24....
Im Buch steht auch das man durch numerische Verfahren sieht das es gegen e konvergiert. Wird schon passen wenn man das als gegeben annimmt oder :)

[Paulchen]

Im Buch steht auch das man durch numerische Verfahren sieht das es gegen e konvergiert. Wird schon passen wenn man das als gegeben annimmt oder :)
man könnte auch zeigen, dass diese folge beschränkt ist (d. h. es existieren eine untere sowie eine obere schranke), dann ist das problem auch behoben.

fragt sich nur mehr, wie man die beschränktheit zeigt... :confused:

[spooky]

wo ist das Problem? Wenn das so im Buch steht wird es schon passen, da sollta man nichts beweisen müssen. Und sonst schreibst du ihm halt das ganze ausm Buch ab und passt :)

[Pregor]

das mit dem abschreiben ist ne Klasse Idee aber dann nimmt er dir das Buch weg und schaut obst dus so auch kannst.


Ich frag ihn einfach morgen im Rep ob wir das müssen weils ja im Buch schon steht

[Pregor]

im Buch ist der Beweis für die Beschränktheit von (1+1/n)^n genau eine Zeile lang, sofern er sn akzeptiert, die Zeile kann man ihm ja hinschreiben wenn man mag.

[Paulchen]

im Buch ist der Beweis für die Beschränktheit von (1+1/n)^n genau eine Zeile lang, sofern er sn akzeptiert, die Zeile kann man ihm ja hinschreiben wenn man mag.
checkt die eine zeile auch irgendjemand?

[Pregor]

ich schon , ist schwer zu erklären wenn ich nicht weiß was so unverständlich ist

ich habe damit gemeint, dass wenn er nicht verlangt das man BSP2 auf Seite 23 in seinem Buch auswendig kann dann ist die Beschränktheit von (1+1/n)^n schnell gezeigt werden

[spooky]

naja, das alles söllte doch eigentlich für dieses Beispiel nicht so relevant sein. Außerdem darf man doch sicher etwas was im Buch steht als gegeben annehmen (wird ja nicht umsonst im Buch behandelt).

verstanden wurde das Beispiel ja auch ohne das beweisen von (1+1/n)^n = e...