Bsp. 3 - 13.4.2005

[Paulchen]

Ich hab das folgendermaßen gemacht:

1/n * sqrt(4n²+5n+6)=1/n * sqrt(n²*(4+5/n+6/n²))=n/n * sqrt(4+5/n+6/n²) = sqrt(4+5/n+6/n²)

Das darf ich machen, weil n>0 sein muss. Wenn ich nun den Limes bilde, erhalte ich lim an=sqrt(4)=2.

Einziges Problem: Darf ich lim sqrt(n)=sqrt(lim n) schreiben?

[Trux]

Einziges Problem: Darf ich lim sqrt(n)=sqrt(lim n) schreiben?
das dürftest du machen, wenn wir in der vorlesungen den entsprechenden grenzwertsatz durchgemacht hätten.
Nachdem wir das aber nicht gemacht haben, kannst du nicht so ohne weiteres annehmen, dass aus der tatsache, dass die folge an=4+5/n+6/n² konvergiert auch folgt, dass die folge sqrt(an) konvergiert.

[Paulchen]

im schlauen baron-buch (seite 8, oben) steht aber auch folgender satz:
Hier werden aber einige Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten verwendet (wie etwa die "Vertauschung" von lim und sqrt, die Berechnung des Limes einer Summe zweier konvergenter Folgen), deren Gültigkeit wir erst überprüfen werden müssen.Wo wird die Gültigkeit dieser "Vertauschung von lim und sqrt" überprüft? Das hab ich zugegebenermaßen noch nicht feststellen können.

[Greedy_Raccoon]

Also ich hab nen andere Lösungansatz:

wir such ja den Grenzwert von an=1/n*sqrt(4n²+5n+6)
ich zerlege das in teilfolgen oder teile einer folge, bin mir immer noch ned sicher was laut dem baron jetzt die richtige definition ist

Def.: § := Unendlich

also lim(1/n)*lim(sqrt(4n³+5n+6)

das ist aber 0 * § und das ist leider nicht definiert (Buch S:21)
Dank der Regel von De L'Hoptial wissen wir aber, dass lim[f(x)/g(x)] = lim[f(x)'/g(x)'] ist
Also leite ich den ganzen spaß mal ab
im endeffekt bekomme ich heraus
an'=-5/2n-6/n²*sqrt(4n²+5n+6)

das ist wunderbar, nur noch n² rausheben, kürzen und ich bekomm einen limes von lim[1/sqrt(4n²+5n+6)] = 0

Damit ist bewiesen dass die Folge eine Nullfolge ist! :thumb:

[camus]

im schlauen baron-buch (seite 8, oben) steht aber auch folgender satz:
Wo wird die Gültigkeit dieser "Vertauschung von lim und sqrt" überprüft? Das hab ich zugegebenermaßen noch nicht feststellen können.

Erste Begründung, dass Du das machen darfst:

Angenommen lim <xn> = x
==> es existiert für alle e > 0 ein N(e) sodass gilt:
|xn - x| < e für alle n > N(e).

Jetzt schau Dir |sqrt(xn) - sqrt(x)| an.

Vorausgesetzt, die Folgenglieder sind alle positiv, dann gilt für alle n:
|sqrt(xn) - sqrt(x)| = |(xn - x) / (sqrt(xn) + sqrt(x))|.

Nun gilt folgende Ungleichungskette:
|sqrt(xn) - sqrt(x)| = |xn-x| / (sqrt(xn) + sqrt(x)) <= |xn-x| / sqrt(x) < e / sqrt(x)
für alle n > N(e).
Für den Fall, dass sqrt(x) > 0.

Also ist die e-N(e)-Eigenschaft auch für die Folge <sqrt(xn)> erfüllt
und sie strebt gegen sqrt(x).

Andere Begründung: Die Quadratwurzelfunktion sqrt: R+ --> R+
ist auf dem ganzen Definitionsbereich stetig. Die Stetigkeit impliziert aber
Folgenstetigkeit, sodass für jede Folge <xn> die gegen x konvergiert,
die Folge der Bilder <f(xn)> gegen f(x) konvergiert. In dem Fall also
lim <sqrt(xn)> = sqrt(x). In anderen Worten: Grenzübergang und
Abbildung ist vertauschbar.

[camus]

Dank der Regel von De L'Hoptial wissen wir aber, dass lim[f(x)/g(x)] = lim[f(x)'/g(x)'] ist


Hier handelt es sich leider um Folgen, die sind nicht differenzierbar,
weil der Definitionsbereich einer Folge die Natürlichen Zahlen sind,
diese nur aus isolierten Punkten bestehen, dadurch kein einziger
Häufungspunkt in der Menge vorhanden ist, was wiederum impliziert,
dass für keinen Punkt des Definitionsbereichs der limes in der Bedeutung
"Grenzwert einer Funktion" existiert, also schon gar nicht irgendein
Grenzwert eines Differenzenquotienten, also auch kein Differentialquotient,
den Du für die Anwendung der Regel von De L'Hospital brauchst.

Wenn Du Ihn trotzdem anwenden möchtest, musst Du zuerst einmal
argumentieren können, warum der Satz für Folgen auch funktionieren kann,
und das würd ich Dir nicht raten, weil die Übungsgruppenleiter dann
wahrscheinlich genauer nachfragen würden.

Außerdem würd ich die Folge mal in ein Mathematikprogramm eingeben,
das es im Lehrmittelzentrum um 5 Euros zum kaufen gibt. (z.B. Maple).
Das wird Dir bei der Folge sicher nicht sagen, dass es sich um eine
Nullfolge handelt.

[fago]

hab den selben lösungsweg wie paulchen.

hab etwas überlegt und ich glaub ich habs geschafft die beziehung mit der wurzel aus dem multiplikationssatz herzuleiten

lim an = lim (wurzel an * wurzel an)
liman = lim wurzel an * lim wurzel an
wurzel(lim an) = wurzel( lim wurzel an * lim wurzel an ) //die nicht neg. wurzel...
wurzel(lim an) = wurzel( (lim wurzel an)² ) = lim wurzel an

[Greedy_Raccoon]

Folgende Sache: der Sebastian hat michgestern auf einen Rechenweg gebracht, bei der die Folge im Endeffekt gegen 4 konvergiert, weiß aber ned obs so richtig ist, klingt aber sehr logisch, vor allem sie ist einfach

1/n*sqrt(4n²+5n+6) |x²| = 4n²+5n+6/n² = n²(4+5/n+6/n²)/n² |n² kürzen|
4+5/n+6/n²/1
limes davon ist 4 !!!!! :confused:

der rechenweg passt so.....

[Paulchen]

ja, nur das ist eben (lim an)².

wenn du dann daraus die wurzel ziehst, passts wieder, also lim an=2.

[Stephe]

ja greedy das mit der wurzel hast du irgendwie verwurzelt :D