Bsp. 2 - 13.4.2005

[Paulchen]

Hat bei diesem Beispiel schon jemand eine Idee, wie man da vorgehen könnte?

[spooky]

also man kann die Folge, da sie gegen 0 konvergiert auch als Betrag anschreiben:

|an - 0| = |an|

bei dem Zähler können wir das hoch n herausnehmen aus dem Betrag (da für Betrag nicht wichtig, positiv).

dann ergibt sich der Betrag |cos2a + i * sin2a|^n

eine komplexe Zahl z = a + i*b --> |z| = sqrt(a²+b²)
|z| = |cos2a + i * sin2a| = sqrt(cos²2a + sin²2a)

wir wissen, dass cos²2a + sin²2a immer 1 ist.

=> sqrt(1) = 1 --> Zähler ist gleich 1

Bei dem Nenner müssen wir die Dreiecksungleichung anwenden:

Der Nenner muss größer werden, damit der gesamte Bruch kleiner wird...

|a+b| >= |a| - |b|

|a| = |a + b - b| <= |a+b| + |b|

=> |sin3a + i * cos3a|*n - 5

n kann man ja jetzt herausnehmen und dann hat man wieder den Betrag von |z| => 1

daraus folg der Nenner: n-5

die gesamte Folge ist also 1/(n-5) => 0

[fago]

unabhängig davon dass ich deinen rechenweg im nenner nicht ganz folgen kann, kann das was du gemacht hast nicht genügen, da nur den betrag betrachtet hast.

schon bei der folge im zähler ändert sicher der winkel laufend. für eine konvergenz brauchen wir aber konst. winkel und betrag (bzw. der winkel muss konvergieren und der betrag muss konvergieren analog realteil und imaginierteil ;))

edit1:
aja wenn der betrag 0 reicht das natürlich :)

edit:
habs nun auch. dass der nenner n-5 sein soll kann ich jedoch nicht nachvollziehen.

der betrag des nenners k ist
1/(n-5) <= 1/k <= 1/(n+5)
also ist 1/k eine nullfolge -> 1*Nullfolge = Nullfolge -> betrag = nullfolge -> nullfolge

[spooky]

naja, ich behaupte das die Folge gegen 0 konvergiert

--> also lim an = 0

=> |an - a| = |an - 0| = |an|

also sollte das ganze kein Problem sein...

[spooky]

ja stimmt... im Nenner ist mir ein Fehler unterlaufen (denk ich mal), aber ich schau es jetzt noch einmal genauer an...

[Geezmo]

möchte net gemein sein...aber 1^n ist nicht gleich 1

grund ist, dass 1^unendlich nicht bestimmbar ist....schaut euch die regel von moivre an...Band 1 seite 31 ganz oben

(cos(x) + isin(x))^n = cos(nx) + isin(nx)

[Paulchen]

möchte net gemein sein...aber 1^n ist nicht gleich 1
<klugscheiß>
1n=1 f.a. natürliche zahlen (beweis mittels vollständiger induktion sei dem geneigten leser überlassen).
richtig wäre: lim 1n != 1

(gemein und pedantisch, ich weiß ;) )
</klugscheiß>

[fago]

hm, kann ich nicht nachvollziehen.

lim 1n != 1 -> wie das?
wenn du mit 1, die komplexe zahl vom betrag 1 mit irgendeinem winkel meinst, ist klar dass du keine konvergenz angeben kannst, da sich der winkel ständig ändert.
aber der betrag der zahl konvergiert gegen 1, da die folge 1,1,1,1,1 gg eins konvergiert, oder etwa nicht ;)

[Geezmo]

ich meine, der lim(1^n) ist nicht gleich 1

dieser ist unbestimmt da 1^unendlich nicht bestimmt ist!

und hier wird ja davon ausgegangen:
|cos2a + i * sin2a|^n

also 1^n und davon der limes ist eben unbestimmt und nicht gleich 1....frag den eigenthaler..is von ihm ^^

[Geezmo]

ok...paulchen hats überrissen was i mein ^^ hab i recht oda net?!? ;)

[Paulchen]

schaut so aus ;)