Bsp. 1 - 13.4.2005

[Paulchen]

Soweit ich das beurteilen kann, ist zu zeigen, dass sin²(n)/n² eine Cauchy-Folge ist.

Weiß da schon irgendjemand, wie man das anstellen kann? Ich habe mir die Threads zu den äquivalenten Beispielen vom Donnerstag/Montag angesehen, aber ich werd einfach nicht schlau daraus.

[spooky]

also du hast |sin²p/p² - sin²q/q²| < e
das kannst du mittels der Dreiecksungleichung umformen (|a-b| <= |a|+|b|)

=> |sin²p/p²| + |sin²q/q²| < e
=> |sin²p|/|p²| + |sin²q/q²| < e

wir wissen, dass der Betrag von sin²x immer kleiner gleich 1 ist, also:

sin²x <= 1

=> |1/p²| + |1/q²| < e => 1/p² + 1/q² < e

umd das zu erfüllen, muss jeweils 1/p² und 1/q² in e/2 liegen.

=> 1/p² < e/2
2/e < p² ==> sqrt(2/e) < p

selbiges für q

=> N(e) = abgerundet (sqrt(2/e)) + 1

[fago]

hab ich im prinzip auch so :thumb:


umd das zu erfüllen, muss jeweils 1/p² und 1/q² in e/2 liegen.


ich hab einfach p=q gesetzt..
nur wie begründe ich das nun am besten? :distur:

[spooky]

du muss ja nur ein e > 0 finden für das p, q > N(e)

wenn du jetzt zum Beispiel sagst, p < q dann folgt daraus, dass 1/p² sicher größer ist. Damit also p,q > N(e) erfüllt ist, musst du einfach mit p weiterrechnen und in der Gleichung kleiner gleich verwenden

d.h:

1/p² + 1/q² <= 1/p² + 1/p² < e

=> 2/p² < e
=> sqrt(2/e) < p

also selbes Ergebnis...

[fago]

ah genau,
m=min(p,q); -> 1/m²+1/m² < € wenn das gilt, gilt auch das andere...

danke :)