Bsp 261

[klausi]

bei dem beispiel schau ich nur blöd drein. mein taschenrechner sagt mir zwar dass an=n!/n^n gegen null strebt, wie soll ich das bitte zeigen?:confused:

würde mich eh wundern, wenn da jemand außer baron himself draufkommt...

mfg klausi

[camus]

Ich würde mit vollständiger Induktion zeigen, dass 1/n >= n!/n^n ist
für alle n >= 1. Dann kann man das Einschließungskriterium anwenden:
0 <= n!/n^n <= 1/n für fast alle n aus N,
lim 0 = 0, lim 1/n = 0 ==> lim n!/n^n = 0

Induktionsbeweis:

Induktionsbasis:
1/1 >= 1!/1^1 = 1/1 w.A.

Induktionsschluss: Sei n so beschaffen, dass 1/n >= n!/n^n ist, dann gilt:

1/n >= n!/n^n (* n / (n+1))
<==> 1/(n+1) >= ( n! * n) / (n^n * (n+1)) (Erweitern mit (n+1)/n)
= (n! * (n+1)) / (n^(n-1) * (n+1)^2) (Ersetzen von n durch (n+1), macht den Nenner größer, den Bruch also kleiner)
>= (n! * (n+1)) / ((n+1)^(n-1) * (n+1)^2)
= (n+1)! / (n+1)^(n+1)

[Paulchen]

darf ich mir das auch so überlegen:

n!=1*2*3*...*(n-1)*n
nn=n*n*n*...*n*n
(jeweils n faktoren)

da nun 1<n, 2<n, 3<n, ... ist, muss n! f. a. n>1 auf jeden fall größer sein als nn; also wächst der nenner schneller als der zähler, folglich handelt es sich um eine nullfolge

[Raiden]

darf ich mir das auch so überlegen:

n!=1*2*3*...*(n-1)*n
nn=n*n*n*...*n*n
(jeweils n faktoren)

da nun 1<n, 2<n, 3<n, ... ist, muss n! f. a. n>1 auf jeden fall größer sein als nn; also wächst der nenner schneller als der zähler, folglich handelt es sich um eine nullfolge

P(n) = 1 * ...... *(n-3)*(n-2)*(n-1)*n

Q(n) = n`n

p < n gilt mit obiger schreibweise für alle n>1

und q = n folgt p<q und für n>1
Daher Nullfolge.

Stimmt das so? Im Prinzip ja das Gleiche wie deines

[Paulchen]

was sind p und q?

[Raiden]

der Grad von Zähler bzw. Nenner (so wie das im Buch auch immer geschrieben wird)

[Lacce]

P(n) = 1 * ...... *(n-3)*(n-2)*(n-1)*n

Q(n) = n`n

p < n gilt mit obiger schreibweise für alle n>1

und q = n folgt p<q und für n>1
Daher Nullfolge.

Stimmt das so? Im Prinzip ja das Gleiche wie deines

deine lösung ist gar nicht blöd - darauf bin ich gar nicht gekommen :thumb:

-Thomas

[Paulchen]

der Grad von Zähler bzw. Nenner (so wie das im Buch auch immer geschrieben wird)sorry, bin grad auf der leitung gestanden, hätte ich mir eigentlich denken können :rolleyes:

und ob ich dem baron das so präsentieren würde... hm... wäre mir persönlich zu schwammig

[Lacce]

und ob ich dem baron das so präsentieren würde... hm... wäre mir persönlich zu schwammig

wieso schwammig? der zähler ist ein polynom vom grad n-1, der nenner eines vom grad n => die folge konvergiert gegen 0. beweis siehe baron2 s.14

also ich finde die lösung gut, weil kurz

-Thomas

[Greedy_Raccoon]

Ich hab folgende Lösung.. hoffe zumindest dass es eine ist

n!/n^n
will mittels vollständiger Induktion zeigen, dass das ganze eine Nullfolge ist --> Nenner muss größer als Zähler sein

Induktionsbehauptung: n!<n^n fa n>0
IS: n1 = 1
n2 = 1/2
IB: (n+1)! < (n+1)^n+1 --> n!(n+1) < (n+1)^n+1 --> n! < (n+1)^n
da lim n->unendl: (n+1)^n = n^n
--> n! < n^n .... heureka

was meints ihr dazu? :confused:

[Lacce]

n!/n^n
will mittels vollständiger Induktion zeigen, dass das ganze eine Nullfolge ist --> Nenner muss größer als Zähler sein

zu zeigen, dass der nenner immer größer ist als der zähler reicht nicht. dann wäre ja auch die konst folge <1/2> eine nullfolge - der nenner ist ja für alle n größer als der zähler.

-Thomas

[Greedy_Raccoon]

Was haltet ihr von folgender Version??

lim n->unendl. n!/n^n = n*n-1*n-2.......*1/n*n*n....*n = n/n * n-1/n * n-2/n..... 1/n

Das ergbit n Einsfolgen und eine Nullfolge
also
1*1*1*.....*0 = 0

Ist im großen und ganzen das die Methode von Paulchen

Ist die Schreibart gültig?

[Stephe]

ja. man könnte das ganze auch so anschreiben:

n!/n^n = 1*2*3*4*...*n / n*n*n*n*...*n = 1/n * 2/n * 3/n * ... * n/n
Das ist also eine Multiplikation aus lauter nullfolgen multipliziert mit der konstanten folge n/n (=1), ergibt also wieder eine nullfolge. daher: lim an = 0

[Greedy_Raccoon]

ja. man könnte das ganze auch so anschreiben:

n!/n^n = 1*2*3*4*...*n / n*n*n*n*...*n = 1/n * 2/n * 3/n * ... * n/n


Ich weiß ned, meine folge ist allgemeiner das gefällt mir besser

[Lacce]

wieso schwammig?

da hab ich mich geirrt. die argumentation ist nicht schwammig, sie ist falsch. n^n ist natürlich kein polynom. fast noch weniger als 2^n ;)

-Thomas

[Paulchen]

also um das ganze mit einer richtigen lösung (vorgetragen vom großmeister) abzuschließen:

an=n!/n[h]n[/t]=(1*2*3*...*(n-1)*n)/(n*n*n*...*n*n)=(1/n)*(2/n)*(3/n)*...*((n-1)/n)*(n/n)

wenn man in diesem ausdruck zum grenzwert übergeht, sieht man zunächst, dass 1/n eine nullfolge ist. wäre also schön, wenn der gesamte rest eine beschränkte folge ist, und das ist auch so, weil jeder faktor immer kleiner oder gleich 1 ist, also liegt der wert dieses ausdrucks immer zwischen 0 und 1.

folglich liegt hier das produkt nullfolge*beschränkte folge for, also ist die folge insgesamt eine nullfolge.