Bsp. 252

[klausi]

hab mich bei der lösung an diesen thread gehalten: http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=29013
der behandelt bsp. 251, was fast gleich ist.

die folge ist monoton fallend, beschränkt und dadurch konvergent.
Grenzwert a: a = sqrt(a+1), daraus ergibt sich die quadratische gleichung
a^2 - a -1 = 0
und die lsg
a = (sqrt(5)+1)/2
die zweite negative lsg fällt weg, weil die unter meiner berechneten unteren schranke liegt, was nicht möglich ist.

mfg klausi

[Paulchen]

die folge ist monoton fallend
<klugscheiß>
sie ist sogar mehr als das, nämlich streng monoton fallend
</klugscheiß>

lösung stimmt jedenfalls :thumb:

[Stephe]

kleine überlegung um die triviale lösung über den haufen zu werfen und alle zu verwirren:
die wurzel könnte ja auch negativ sein! wenn das n-te Elemente also negativ ist ist das n+1-te Element die Wurzel aus einer negativen Zahl, also komplex! *verwirr* Is das schon jemandem durch den Kopf gegangen? In der Angabe steht nämlich nicht in welchem Zahlenbereich (N, R oder C) wir rechnen.

[edit]: wieso fällt die negative lösung weg? bei der berechnung der unteren schranke bist du ja schon davon ausgegangen dass es keine negative lösung gibt. oder verdreh ich da jetzt alles total??

HILFE!!! *kreisch*

[Greedy_Raccoon]

In der Angabe steht nämlich nicht in welchem Zahlenbereich (N, R oder C) wir rechnen.
HILFE!!! *kreisch*

Brauchst nicht kreischen, in der Angabe steht nämlich für alle n>= 0 --> n kann nicht negativ sein.

[Paulchen]

Brauchst nicht kreischen, in der Angabe steht nämlich für alle n>= 0 --> n kann nicht negativ sein.
das bedeutet ja noch lange nicht, dass nicht an negativ sein könnte.

der rest dieses postings ist schwachsinn, bitte vergessen

[Lacce]

die wurzel könnte ja auch negativ sein! wenn das n-te Elemente also negativ ist ist das n+1-te Element die Wurzel aus einer negativen Zahl, also komplex!
hier ist aber sicher die nichtnegative wurzel gemeint. wenn man sich jedes mal aussuchen könnte, welches ergebnis man nimmt (das pos. oder das neg.), wäre es keine eindeutige zuordung von N->R mehr (bzw. auch nicht N->C).

es steht zwar nicht explizit da, aber man kann davon ausgehen, dass die nichtnegative wurzel gemeint ist (und nicht etwa die nichtpositive)

edit: bei komplexen zahlen kann man nicht einmal von positiv oder negativ sprechen - also könnte man so nicht einmal eindeutig identifizieren, welcher wert gemeint ist

-Thomas

[josef]

um das angesprochene problem des negativen radikanden zu eliminieren, kann man sich überlegen: a0=0; an ist streng monoton wachsend...
im post weiter oben hast du selbst geschrieben das an streng monoton fallend ist. allerdings ist das auch nur dann der fall wenn man die nichtneg. wurzel nimmt.

ich versteh noch nicht ganz was gegen die neg. wurzel spricht.

das selbe bsp ist im baronbuch, band2, seite 7 mit a0 = 0. dort wird auch von der positiven wurzel ausgegangen.

[Paulchen]

im post weiter oben hast du selbst geschrieben das an streng monoton fallend ist.da hast du recht, da hab ich einen fehler fabriziert

EDIT: außerdem ist a0=4 und nicht 0

hab wohl zu viel ins buch geschaut und das dortige beispiel abgeschrieben anstatt mir 252 zu überlegen...

[Lacce]

ich versteh noch nicht ganz was gegen die neg. wurzel spricht.

du könntest dich auch auf die negative wurzel einigen, da kommst du aber nicht weit, weil du schon bei a_2 einen negativen wert unter der wurzel hast. und das wäre in R nicht definiert.

-Thomas

[josef]

du könntest dich auch auf die negative wurzel einigen, da kommst du aber nicht weit, weil du schon bei a_2 einen negativen wert unter der wurzel hast. und das wäre in R nicht definiert.
wie schon im post#3 festgestellt steht nicht in d. angabe aus welcher Menge die elemente dieser folge sind

[Lacce]

wie schon im post#3 festgestellt steht nicht in d. angabe aus welcher Menge die elemente dieser folge sind
es gibt aber auch keinen guten grund anzunehmen, dass jeweils die nichtpositive wurzel gemeint ist (es wäre wie oben angedeutet auch gar nicht sinnvoll).

-Thomas

[josef]

nach einer kurzen diskussion mit einer extrem begabten mathematikerin haben wir (vor allem sie) festgestellt dass - wäre die nichtpos. wurzel gemeint - wir eine Folge komplexer Zahlen hätten, über die man aber bezüglich Monotomie, Beschränktheit und Grenzwert nichts aussagen kann weil der Körper komplexer Zahlen nicht so angeordnet werden kann, dass die Anordnung den Monotomiegesetzen entspricht.

[Raiden]

Im Band1 ganz am Schluss steht:
Im nächsten Kapitel (Band 2) werden wir uns ausführlich mit der Konvergenz von Folgen in R hoch n bzw. R beschäftigen.

Darf man eine Komplex Zahl als Dupel von R schreiben?

[fago]

also hab mir auch ein paar gedanken gemacht zur negativen lösung der wurzel:

eine komplexe zahl kann man als tupel reeller zahlen schreiben: betrag + winkel. (isomorphe abbildung)

die 2 betrachte ich nun als 2 folgen, konvergieren beide, so konvergiert die "gesamtfolge" in diesem tupel.

der betrag ist im prinzip das bishere behandelte, konvergiert also gegen a. der winkel ist da schon ewtas schwieriger.

neuerwinkel = alterwinkel/2 (+ pi)
somit kriegt man immer 2 mögliche werte für den winkel. der winkel sollte somit 2 HP haben, bei 0 und bei pi einen. (ermittelt durch logische überlegung ;)

jetzt müsste man das ganze nur noch formal herleiten und zeigen...
nur ist ist das beim winkel nicht gerade trivial :/

[Raiden]

Sei X eine beliebige Menge. Eine Funktion, die jedem n€N ein Element an€X zuordnet, heisst unendliche Folge in X.

Bei der Wurzel aus komplexen Zahlen gibt es ja mehr als ein Ergebnis, somit ist an nicht mehr eindeutig.
Aber in der Definitio steht ja nicht "genau ein" sondern nur "ein".

hmmm :)

[fago]

hm kA, ein thread der auch in die richtung geht:
http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=5664
edit: (jedoch leider nur mit reellen zahlen..)

[Paulchen]

einerseits geh ich mal davon aus, dass man es mit einer reellen folge zu tun hat, weil sonst nichts dabeisteht (ich hoffe, das ist auch tatsächlich so)

andererseits folgende überlegung: lasse ich die negative lösung der wurzel zu, so hab ich ein a0, aus dem sich zwei a1 berechnen lassen. jetzt kann ich aber mit hilfe dieser a1 jeweils zwei a2 berechnen (in der menge der komplexen gibt es für jede zahl zwei werte für die quadratwurzel!), also erhalte ich insgesamt vier a2; das geht weiter mit acht a3,...

auch aus diesem grund würde ich sagen, dass eine negativer wert für die wurzel nicht viel sinn macht.