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View Full Version : [Frage] Lösungsweg bei Rumpf DGL

grassi3000
25-02-2005, 22:30
Tja, wenn ich versuche eine Rumpf DGL analog zum Bsp 3 s368 zu lösen, dann hab ich immer das Problem, dass ich net weiß, wie ich die ersten Integrale lösen soll.

Ich glaube mich zu erinnern, dass in der letzten VO ein Lösungsweg gemacht wurde, der anders als dieser Verlief und ohne die Ersten Integrale auskam. (Vielleicht täusche ich mich hier auch)

Könnte mir jem von euch bitte den Lösungsweg f.d. DGL nochmals erklären?

thx
g3k
dose
26-02-2005, 00:06
Im Prinzip isses nicht wirklich schwer, grundsätzlich schaut eine Rumpf-DGL ja etwa so aus:
a(x,y,z)*u_x + b(x,y,z)*u_y + c(x,y,z)*u_z = 0 (u ist zusätzlich noch von t abhängig)

Jetzt setzt Du a = x', b = y', c = z', wobei x, y, z wiederum nach t differenziert werden, also a = dx/dt, b = dy/dt, c = dz/dt

Jetzt bastelst Du Dir Deine Phasen-DGL, indem Du Dir eine der drei x', y', z' aussuchst, und die beiden übrigbleibenden dadurch dividierst, also z.B. x'/z' und y'/z' => a/c = dx/dz, b/c = dy/dz

Die Phasen-DGL sollten jetzt irgendwie mit elementaren Methoden lösbar sein (lin. DGL 1. Ordnung oder irgendsoein Zeug), die dort rauskommenden Lösungen drückst Du dann nach den Konstanten aus, und genau das was dann auf der rechten Seite steht, sind dann Deine ersten Integrale, und somit Lösungen der Rumpf-DGL.

Hoffe, das war einigermaßen verständlich (und auch richtig ;)), siehe auch http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=26779
Foolish_Genius
03-03-2005, 00:50
Super erklärt, danke :) hab das (glaube ich) jetzt tatsächlich kapiert :)
Tuss14
03-03-2005, 19:23
Hallo!

Soweit hätte ichs dank dose ja auch verstanden.
Nur wie ist das mit der Phasen-DGL wenn man nur 2 Werte wie z.B. beim Bsp 1 im Buch auf Seite 368: y*u_x + x*u_y = 0 hat????

Wie kommt man da auf y^2 - x^2 = konstant ???

Kann mir da bitte jemand helfen???

Schonmal danke!
dose
03-03-2005, 19:39
Das Prinzip bleibt komplett gleich. Zuerst die Koeffizienten mit den Ableitungen nach t gleichsetzen:
x' = y, y' = x

Dann x' durch y' oder y' durch x' dividieren, das ganze wird dann trennbar:
x'/y' = y/x
(dx/dt) / (dy/dt) = y/x
dx/dy = y/x
x dx = y dy
integrieren: x^2/2 = y^2/2 + C
C = x^2 - y^2 (oder y^2 - x^2, das is ja dank unbestimmtem C wurscht, ebenso wie das /2)

Somit ist u = f(x^2 - y^2) eine Lsg. der Rumpf-DGL.
Tuss14
03-03-2005, 20:03
Super danke, jetzt versteh ichs! :thumb: