MaxAuthority
05-01-2005, 18:16
1.) f(x,y)=(e^(-x/4)*sin y; e^(-x/4)*cos y) // Achtung: statt dem ; in Wirklichkeit unterinander geschrieben, die 2 Zeilen)
a) global invertierbar? - stichhaltige Begruenung!
b) lokal invertierbar? - wenn ja -> in welchen Punkten?
c) Berechnen Sie die Funktionsdeterminante der Funktion f(x,y) und vereinfachen Sie diese
d) Wie sieht die Jakobimatrix der zu f inversen Funktion f^(-1) im Punkt (0,1) aus? Berechnen Sie dazu f(0,2pi)!
2.) g(x,y) = (2x - y^2)^2
a) In welchen Punkten stationaer?
b) Was koennen Sie ueber die stationaeren Punkte von g(x,y) aussagen?
c) Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt (1,1) in Richtung (8.6)!
d) In welche Richtung ist der Anstieg von g(x,y) im Punkt (2,2) maximal? Was folgt fuer den Punkt (2,2)?
3.)
a) Skizze von B={(x,y) e R^2 : 4 <= x^2 + y^2 <= 9; x >= 0 }
b) Berechnen Sie das Integral ueber den Bereich B: I_B{1 dx dy}
c) Berechnen Sie das Integral ueber den Bereich B: I_B{sqrt(x^2 + y^2) dx dy}
4.) Gegeben sei f(x,y) = x^2 - y^2 und g(x,y)=y-x^2
a) Skizze von Niveaulinien fuer f(x,y) und Nebenbedingung: g(x,y)=0
b) Best. das/die Minima von f(x,y) und NB: g(x,y)=0
c) Best. das/die Minima von -f(x,y) und NB: g(x,y)=0
d) Tragen Sie in eine Skizze ein:
Niveaulinien von f (siehe Bsp a), die Niveaulinie g(x,y)=0 und die Ergebnispunkte von (b) und (c) und beschrifte.
=====
Waere natuerlich wie immer froh, Loesungen zu erhalten, die man vergleichen koennte.
a) global invertierbar? - stichhaltige Begruenung!
b) lokal invertierbar? - wenn ja -> in welchen Punkten?
c) Berechnen Sie die Funktionsdeterminante der Funktion f(x,y) und vereinfachen Sie diese
d) Wie sieht die Jakobimatrix der zu f inversen Funktion f^(-1) im Punkt (0,1) aus? Berechnen Sie dazu f(0,2pi)!
2.) g(x,y) = (2x - y^2)^2
a) In welchen Punkten stationaer?
b) Was koennen Sie ueber die stationaeren Punkte von g(x,y) aussagen?
c) Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt (1,1) in Richtung (8.6)!
d) In welche Richtung ist der Anstieg von g(x,y) im Punkt (2,2) maximal? Was folgt fuer den Punkt (2,2)?
3.)
a) Skizze von B={(x,y) e R^2 : 4 <= x^2 + y^2 <= 9; x >= 0 }
b) Berechnen Sie das Integral ueber den Bereich B: I_B{1 dx dy}
c) Berechnen Sie das Integral ueber den Bereich B: I_B{sqrt(x^2 + y^2) dx dy}
4.) Gegeben sei f(x,y) = x^2 - y^2 und g(x,y)=y-x^2
a) Skizze von Niveaulinien fuer f(x,y) und Nebenbedingung: g(x,y)=0
b) Best. das/die Minima von f(x,y) und NB: g(x,y)=0
c) Best. das/die Minima von -f(x,y) und NB: g(x,y)=0
d) Tragen Sie in eine Skizze ein:
Niveaulinien von f (siehe Bsp a), die Niveaulinie g(x,y)=0 und die Ergebnispunkte von (b) und (c) und beschrifte.
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Waere natuerlich wie immer froh, Loesungen zu erhalten, die man vergleichen koennte.