View Full Version : [TU] - 8.1
Sers
Komme bei dem Beispiel nicht wirklich weiter. Habe bis jetzt folgenden Ansatz (der aber anscheinend fehlerhaft ist)
Man soll zeigen, dass:
W(X > 2E) =< 1/2 für die gegebene SG mit W(X < 0) = 0 und Erwartungswert E
Ich hab mir jetzt gedacht, dass ich das 1/2 mit dem Integral der Dichte von -oo bis oo multiplizere (es reicht vielleicht auch von 0 bis oo), da das ja 1 ist.
Dann erhalte ich:
1/2 * Integral (0 bis oo) von f(x) dx. Dann spalte ich das wie in der VO auf in zwei Integrale und wenn ich dann eines wegstreiche und eine Ungleichung daraus mache erhalte ich etwas in der Art:
1/2 * Integral (2*E bis oo) von f(x) dx
Dass hintere passt schon mal, aber ich kann hier den 1/2 ja nicht wegstreichen, da dann folgen würde, dass der Term <= der zu zeigenden Wahrscheinlichkeit ist, was ja nicht stimmen kann.
Bin etwas überfragt .-)
Wahrscheinlich muss man irgendwie das 2*E da noch gscheiter reinbringen, komme aber gerade nicht drauf.
mfg
Rumpl
Naja kann man da nicht einfach so sagen, dass in dieser Tschebyscheffschen Ungleichung das epsilon gleich µ ist, weil die Wahrscheinlichkeit, dass W{|X-EX|>µ}, nichts anderes ist als W(X>2µ)
Naja kann man da nicht einfach so sagen, dass in dieser Tschebyscheffschen Ungleichung das epsilon gleich µ ist, weil die Wahrscheinlichkeit, dass W{|X-EX|>µ}, nichts anderes ist als W(X>2µ)
Selbigen Ansatz hab ich auch, nur ich weiß dann nicht was ich weiters machen soll dass da irgendwie aus der Tschebyscheffen Ungleichung 1/2 rauskommt. Köönt mir wer da weiterhelfen!!
Septic.exe
12-12-2004, 13:38
ad a) K ... ich hab folgenden Lösungsansatz (der natürlich wieder völliger Mist sein kann):
Aufgrund des Hinweises in der Angabe adaptiere ich einfach die TschU [e = epsilon, u = μ]:
Wir sollen zeigen, dass W (X > 2u) <= 1/2 ist. Laut TschU [W {|X - EX| >= e} <= VarX / e^2. Deswegen sollte doch in unserem Fall "VarX / e^2" "1/2" sein, sprich die Varianz ist 1 und e^2 = 2, sprich e = sqrt(2).
Dann hab ich eigentlich nur noch in die TschU eingesetzt:
1/2 = 1/2 * ∫(von -oo bis +oo) von (x - u)^2 * f(x) nach dx = 1/2 * ∫_(x: x > 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx + 1/2 * ∫_(x: x <= 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx ... das ist logischerweise (und auch laut TschU) größer gleich 1/2 * ∫_(x: x > 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx.
So, dieser letzte Ausdruck [1/2 * ∫_(x: x > 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx] ist gleich "∫_(x: x > 2u) von [(x - u)/sqrt(2)]^2 * f(x) nach dx", man zieht einfach das 1/2 ins Integral ... und das ist logischweise (und laut TschU) größer gleich 1/2 * ∫_(x: x > 2u) von f(x) nach dx, da[(x - u)/sqrt(2)]^2 >= 1 ist und dadurch |x - u| >= sqrt(2) sein muss. Und ∫_(x: x > 2u) von f(x) nach dx ist gleich W {X > 2u}.
Kann das so stimmen :confused:?
b) dürfte ja wieder aufgrund des *'s freiwillig zu machen sein.
ad a) K ... ich hab folgenden Lösungsansatz (der natürlich wieder völliger Mist sein kann):
Aufgrund des Hinweises in der Angabe adaptiere ich einfach die TschU [e = epsilon, u = μ]:
Wir sollen zeigen, dass W (X > 2u) <= 1/2 ist. Laut TschU [W {|X - EX| >= e} <= VarX / e^2. Deswegen sollte doch in unserem Fall "VarX / e^2" "1/2" sein, sprich die Varianz ist 1 und e^2 = 2, sprich e = sqrt(2).
Dann hab ich eigentlich nur noch in die TschU eingesetzt:
1/2 = 1/2 * ∫(von -oo bis +oo) von (x - u)^2 * f(x) nach dx = 1/2 * ∫_(x: x > 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx + 1/2 * ∫_(x: x <= 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx ... das ist logischerweise (und auch laut TschU) größer gleich 1/2 * ∫_(x: x > 2u) von (x - u)^2 * f(x) nach dx.
hi!
tja, der ansatz schaut ganz gut aus, und bist (meiner meinung nach) richtig vorgegangen.
nur, die sache ist die:
laut angabe: W{x>2u} und u=EX
und von daher(glaub ich zumindest), dass dein integral so aussehen muss:
int(x*f(x))
und was die intervalle angeht: ich glaub es reicht, wenn ma von 0 bis oo integrieren oder was meint ihr?
Wie wärs so:
Weil W(X>2µ) <=1/2, so soll dann
W{|X-EX|>µ}> 2µ...oo∫f(x)dx... dann analog zu dem Beweis der Tschbyscheffschen Ungleichung...
grassi3000
12-12-2004, 19:17
Finde deinen Ansatz sehr schlüssig. Nur glaube ich, dass du hier nen kleinen fehler hast.
... und das ist logischweise (und laut TschU) größer gleich 1/2 * ?_(x: x > 2u) von f(x) nach dx,
Da hast du vorher das 1/2 schon ins Integral hineinmultipliziert also gehört es da weg.
Ich verwende den Ansatz (u...my):
1/2 = 1/(2u) * int[0..oo] (x*f(x))dx >= 1/(2u) * int[2u..oo] (x*f(x))dx =
int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx
Nachdem x in dem Integral immer >= 2u ist, ist x/2u immer >=1
--> int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx >= int[2u..oo] f(x) dx = W(X > 2u)
Ich verwende den Ansatz (u...my):
1/2 = 1/(2u) * int[0..oo] (x*f(x))dx >= 1/(2u) * int[2u..oo] (x*f(x))dx =
int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx
Nachdem x in dem Integral immer >= 2u ist, ist x/2u immer >=1
--> int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx >= int[2u..oo] f(x) dx = W(X > 2u)hört sich gut an! ;)
Der Ansatz ist super...das einzige was ich mich noch frage ist...wie kommst du auf das 1/2u am Anfang?
--> 1/2=1/2u*int....
winequarter
13-12-2004, 15:46
Der Ansatz ist super...das einzige was ich mich noch frage ist...wie kommst du auf das 1/2u am Anfang?
--> 1/2=1/2u*int....
u = int(....) /das Ganze durch u
1 = 1/u * int(....) /das Ganze durch 2
1/2 = 1/2u * int(....)
theDolphin
13-12-2004, 15:48
[EDIT] winequarter war schneller
winequarter
13-12-2004, 18:32
[EDIT] winequarter war schneller
Tja - unterschätze nie die Geschwindigkeit eines Weinviertlers ;)
Ich verwende den Ansatz (u...my):
1/2 = 1/(2u) * int[0..oo] (x*f(x))dx >= 1/(2u) * int[2u..oo] (x*f(x))dx =
int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx
Nachdem x in dem Integral immer >= 2u ist, ist x/2u immer >=1
--> int[2u..oo] (x*f(x)/(2u))dx >= int[2u..oo] f(x) dx = W(X > 2u)
sollte da in der letzten Zeil nicht stehen:
--> ..... >= int[2u..oo]xf(x)dx = ...
Sandalwood
13-12-2004, 23:06
sollte da in der letzten Zeil nicht stehen:
--> ..... >= int[2u..oo]xf(x)dx = ...
noe ... was willst'n mi'm erwartungswert?
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