Würfelbeispiel

[newid]

Hallo!

Nachdem hier noch keine allgemeine Panik gesehen habe, fange ich einmal mit dem Würfelbeispiel hier an zu posten.

Berechnen sie unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit,
beim 100maligen Wuerfeln eine Augensumme zwischen 325 und 375 zu wuerfeln.

Hier ein paar Überlegungen:

Augenzahl(minimal)=100
Augenzahl(maximal)=600

600-100=500 => 500/2=250 => x quer = 250+100=350 = mu

Die Varianz bei 100 maligem Würfeln sollte sich so errechnen:

sigma ^2 = n*p*(1-p)=100*(1/6)*(5/6)=13.888

aus diesem Wert lässt sich dann sigma = 3.7268 berechnen.

So nun wie gehts weiter?

lg

[Geblubeo]

ich schätze mal, jetzt fehlt nur noch einsetzen der parameter die du gerade ermittelt hast in die verteilungsfunktion der normalverteilung

NormVert(Obergrenze,Sigma,Mu)-NormVert(Untergrenze,Sigma,Mu) sollte dann das ergebnis sein wenn man die binomialverteilung durch die normalverteilung approximiert

siehe auch
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/approx_bin_norm.php

lg

[tintifax]

hast du das probiert?
ich komm auf die gleichen parameter aber nacher mit normvert(x,mü,sigma,true) in ms excel kommt bei mir immer die wahrscheinlichkeit 1 heraus!
das kann doch nicht stimmen?!?!

[tintifax]

denke ich habs! ist das richtige ergebnis p(x)=0.055806 ???

[Keyser_Sozo]

wie hast du's gerechnet?
kannst bitte deinen lösungsweg posten?

danke,
andi

[tintifax]

der erwartunswert für die augensumme ist die summe von pi mal xi, also 1x1/6+2x1/6+...+6x1/6 =3.5
für 100 würfe 100x3.5 = 350 und das is mein mü
die varianz berechnet sich nach var(aX) = a^2xvar(X)
sigma = wurzel(a^2xvar(x)) =372.768

approximierung mit standardnormalverteilung
P(x1<X<x2) = phi(x2)-phi(x1)

wie man xi für phi standardisiert weiss ich jetzt nicht auswendig, stehr aber eh im skriptum
kann leider erst am abend nachschauen.

ich weiss aber nicht ob das stimmt!
man kann die werte auch in die formel normvert(...) in ms excel einsetzten, dann kommt aber ein geringfügig andere wert heraus (unterschied in der 4ten nachkommastelle oder so)

weiss aber nicht ob das so richtig ist!
werds aber am abend nochmalüberdenken!
hat wer andere vorschläge wie man das rechnet???

beste grüße

[denden]

@tintifax welche werte hast du hier eingesetzt normvert(x,mü,sigma,kumuliert)?

lg

[ulrich]

Eine Standardabweichung von 372 scheint mir doch etwas sehr übetrieben !?!!!

[Geblubeo]

ich komme auf varianz = 291.67 und standardabweichung = 17.08
für die wahrscheinlichkeit in diesem bereich kriege ich nach einsetzen dieser werte ~0.86

[tintifax]

@geblubeo

schein mir auch bissl vernünfiger zu sein
kannst du mal kurz deinen rechenweg posten
wie hast du das bsp gerechnet?

thx

[tintifax]

ich habs jetzt nochmal nachgerechnet:

mü = 3.5 für einen wurf
sigma^2 = 2.91.... für einen wurf

für zufallsvariablen gilt:
E(X) der augensumme ist summe der E(X) für einen wurf, also 100 x 3.5 = 350
sind zufallsvariablen unabhängig gilt auch:
summe der varianzen ist varianz der summen

dann kann man die parameter ausrechnen und in die formel einsetzen und bekommt P(x1<X<x2)=0.86

wenn man allerdings die stdabw summier und nicht schon vorher die varianzen der augensumme (also 100 x sigma) ist die stdabw um einen faktor 10 größer (170,78) und damit die P=0.114

was is jetzt rihctig? 86% kommt mir fast ein bissl viel vor für eine intervallbreite von nur 50 ????????

ideen dazu?

[Yawn]

Vergiss nicht, dass du die Std-Abweichungen nicht einfach mit n, also 100, multiplizieren kannst - Die musst du mit wurzel(n), also 10, multiplizieren.

[tintifax]

richtig, habs grad nachgelesen!
dann kommt 86% raus!

schaut aber trotzdem bissl viel aus, oder nicht?!?!

[Yawn]

Oops, falsches forum.

[denden]

@Yawn wie bist du auf sd=17.08 gekommen?bitte um antwort

lg

[Yawn]

So wie tintifax es beschrieben hat.

Varianz für einen Würfel ausrechnen. Dann wegen "summe der varianzen ist varianz der summen" einfach mal 100. Und dann aus der Varianz die Standard-Abweichung (also einfach wurzel-ziehen).

[wolfmann]

ich habs jetzt nochmal nachgerechnet:

mü = 3.5 für einen wurf
sigma^2 = 2.91.... für einen wurf

für zufallsvariablen gilt:
E(X) der augensumme ist summe der E(X) für einen wurf, also 100 x 3.5 = 350
sind zufallsvariablen unabhängig gilt auch:
summe der varianzen ist varianz der summen

dann kann man die parameter ausrechnen und in die formel einsetzen und bekommt P(x1<X<x2)=0.86

wenn man allerdings die stdabw summier und nicht schon vorher die varianzen der augensumme (also 100 x sigma) ist die stdabw um einen faktor 10 größer (170,78) und damit die P=0.114

was is jetzt rihctig? 86% kommt mir fast ein bissl viel vor für eine intervallbreite von nur 50 ????????

ideen dazu? ich steh grad auf der leitung: wie kommst du auf die Varianz von 2.91?

Edit: ausserdem was setzte ich bei NORMDIST für x und Mean ein?

[Geblubeo]

Var (Xi) =

((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)*1/6

[wolfmann]

Var (Xi) =

((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)*1/6
danke!

Nun versuche ich die Wahrscheinlichkeit aus zurechnen, des haut aber nicht hin :-(

Verwende: =NORMDIST(375,350,StdAbw,FALSE)-NORMDIST(325,350,StdAbw,FALSE)

jemand eine idee?

[pinkhippo]

ist die Varianz nicht 221???

nevermind.. i got it

[tintifax]

du musst für STADABW schon auch einen wert einsetzen!

wenn man die varianz nach obiger formel berechnet kommt 2.91... heraus!
kumuliert für 100 versuche 2.91 + 2.91 + ... = 100 x 2.91 = 291,..

beste grüße

[wolfmann]

du musst für STADABW schon auch einen wert einsetzen!

wenn man die varianz nach obiger formel berechnet kommt 2.91... heraus!
kumuliert für 100 versuche 2.91 + 2.91 + ... = 100 x 2.91 = 291,..

beste grüße
ja ich setzt eh für die StdAbw: SQRT(291) ein - also die 17,....
Als ergebnis bekomme ich 0

[pinkhippo]

NORMDIST(325, 350, 17.07825, false) = 0.008001127
NORMDIST(375, 350, 17.07825, false) = 0.008001127

???????????

[LaTiNo___]

NORMDIST(325, 350, 17.07825, false) = 0.008001127
NORMDIST(375, 350, 17.07825, false) = 0.008001127

???????????
wie bist du auf das wert 17.07825 gekommen, wasfür ein formel verendest hast?

lg

[pinkhippo]

ich hab die varianz von ein wurf gerechnet... 2,916666666667...

also, 100maligem würfeln = 2,916666667*100= 291,66666667

standard deviation is the square root of variance... SQRT(291,6666667) = 17.07825

[denden]

Normvert(375,350,17.058,falsch)-Normvert(325,350,17.058,falsch) = 0

das kann aber nicht richtig sein oder?????was hab ich hier falsch gemacht??

[denden]

Wenn ich die Normvert von 325 bis 375 in Excel rechne dann bekomme ich 0,86 ,aber dass ist wirklich zeitaufwendig da ich summiere 50 werte ,ist das der eizige weg ?

[SnapShot]

Hab in einem Statisk buch so ne nette formel gefunden für
P(x <= x <= b) = Φ((b+0.5-µ)/Standardabweichung) - Φ((a-0.5-µ)/Standardabweichung)
wobei a für 325 und b für 375

da komm ich genau auf das gleiche Problem wie davor mit
Φ(1.4893127711) - Φ(1.4893127711) => damit würde wieder 0 rauskommen
?????
Abgesehen davon: was für Φ einzusetzen is .. is ma a bissal a rätzel .. im dem buch steht drinnen das es die "Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung" ist. Gibt es dazu im Excel eine funktion wie die NORMDIST???

steh da an .. hilfe wäre super danke

lg Snapi :)

[Erendis]

ich hätte folgende Fragen:
welche Funktion in R wird für dieses Bsp verwendet?
Und wie kommt ihr auf die 86%.
ich hab bei diesem Bsp echt kein Ahnung, wie man es löst :(
wär froh, wenn mir das jemand erklären könnte
lg
erendis
P.s: sollen wir das Projekt dem Neuwirth schicken, da der BSCW server ned funzt?

[Geblubeo]

für kumuliert muß wahr übergeben werden, denn der wert der verteilungsfunktion an den beiden punkten ist interessant, also die fläche unter der dichtefunktion, nicht der wert der dichtefunktion.

dann verteilungsfunktion (obergrenze) - verteilungsfunktion (untergrenze) = ergebnis

[denden]

@Geblubeo .Danke sehr ,endlich gelöst.

lg
denden

[Erendis]

@denden
könntest du bitte deinen rechnungsweg posten?
lg
erendis

[Geblubeo]

hier nochmal zusammengefasst:

zentraler grenzwertsatz sagt, dass die summe von einzelnen zufallsvariablen Xi, die unabhängig und identsich verteilt sind, für große n anährend normalverteilt ist, wobei gilt E(Summe Xi) = E(X1)+...+E(Xn) und V(Summe Xi) = V(X1)+...+V(Xn)

-> dh verteilungsparameter der einzelnen zufallsvariablen (eine zv=1x würfeln) ausrechnen summe bilden, damit in die verteilungsfunktion der normalverteilung gehen.

erwartungswert E(Xi) = (1+2+3+4+5+6)*1/6
weiters varianz V(Xi) =((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)*1/6
Standardabweichung = sqrt(V(Xi))

E(Summe) = 100*E(Xi)
V(Summe) = 100*V(Xi)
Standardabweichung = sqrt(V(Summe))

damit sind alle parameter bestimmt

will man genau einen wert, also die wahrscheinlichkeit, dass die anzahl genau x ist, setzt man x in die dichtefunktion und hat die wahrscheinlichkeit

will man dagegen einen bereich muß man entweder die dichtefunktion von untergrenze bis obergrenze intergrieren, oder eben in die verteilungsfunktion einsetzen, die immer schon die kumulierte wahrschinlichkeit bis zum eingesetzten wert ergibt

in excel ist das dann

NORMVERT(375,mittelwert, stdabw,wahr)-
NORMVERT(325,mittelwert, stdabw,wahr)

lg

[Erendis]

für mittelwert setzt ich dann 291,67 und für die standardabweichnung 17,078 ein??

[denden]

Nein für Mittelwert 350 setzen und für sd 17,07.Das wert 291 war nur um sd zu ermittlen wobei sqrt(291,67) = 17,07.
klar?

lg

[SnapShot]

super .. jetzt hab ichs .. puh .. hab schon geglaubt das beispiel wird mich noch vernichten *ggg* :)

thx & bye :I