Bsp 38

[MikeJRendar]

also hier mal das richtungsfeld.

es sollte in jedem (x,y) punkt nur eine lösung geben, da man in dem feld sehr schön sieht das alles ins unendliche geht.

[wolfskind]

also wenn man die lipschitzbedingung beachtet (Skriptum S.36), dann würde ich sagen, dass diese entlang der y-Achse nicht erfüllt ist.

[InspectorGadjet]

kann man da irgendein y1 und y2 wählen? oder sind das ganz spezielle?

[Ass-Programmer]

ich glaube dass es bis auf x=0 mit einer Lösung definiert ist....:shinner:

[Schorsch]

wie kommts ihr auf das richtungsfeld ???

thanx

schorsch

[stafla]

warums sollte es bei x=0 definiert sein?
eine division durch 0 ist nicht definiert!!!

[johnny!]

warums sollte es bei x=0 definiert sein?
eine division durch 0 ist nicht definiert!!!

Naja, bei a/0 (a != 0) kannst sagen, dass es die steigung unendlich ist, also senkrechter strich nach oben. bei 0/0 kannst gar nix darüber aussagen, da kannst in jede beliebige richtung gehen. geht auch schön aus der grafik hervor, wenn man die striche länger zieht. es gehen alle durch den ursprung, überschneiden sich aber sonst nirgends => über all eine lösung, außer bei (0,0) undefiniert.

[Patman]

Also schauen wir einmal wies mit dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz aussieht... (Skriptum Seite 36)

zunächst muss f(x,y) (das ist ja in unserem Fall das y/x) in D stetig sein.
nun ja D wäre bei mit R^2|x!=0 (Rquadrat mit x ungleich null) weil ja division durch null: geht nicht.
So Jetz die Lipschitzbedingung: siehe S. 36

|y2/x-y1/x|<=L*|y2-y1|
=>
|(y2-y1)*1/x|<=L|y2-y1|

So, das L ist eine nicht genauer spezifizierte Konstante größer 0. Die Ungleichung ist erfüllt für L>=|1/x|. Weil L ja beliebig nahe an 0 herangeführt werden kann ist die Bedingung eigentlich erfüllt und damit gibt es für alle Anfagsbedingungen eine lösung.

Nicht oder?

[ein_stein2000]

also i hab das auch ohne die Lipschitz-Bedingung gemacht ... man sieht es ja offensichtlich, wo das Problem liegt

http://einstein2000.oldsch00l.com/uni/mathe2_ubung/Mathe2_Beispiel38.pdf

[Stoefln]

So, das L ist eine nicht genauer spezifizierte Konstante größer 0. Die Ungleichung ist erfüllt für L>=|1/x|. Weil L ja beliebig nahe an 0 herangeführt werden kann ist die Bedingung eigentlich erfüllt und damit gibt es für alle Anfagsbedingungen eine lösung.

Nicht oder?

Hm ich glaub ich habs noch nicht richtig verstanden...
Die Bedingung muss doch laut Definition für alle x gelten. Wenn ich also L fix wähle kann ich x so klein machen dass die Bedingung L>=|1/x| nicht mehr erfüllt ist.. oder wie?

[lEn00x]

Zur Libschitzbedingung: Die Libschitzbedingung ist genau dann erfüllt, wenn gilt (mit I[a,b]):
|q'(x)| <= lambda < 1 für alle x € I

Also zum lösen braucht man nur checken, ob q(x) € I für alle x € I und die obere Bedingung.

Konkret bei Bsp. 38: Alle Punkte bis auf (0/0) sind eindeutig bestimmt (dort schneiden sich alle tangenten)

[jay]

eine frage zur lipschitzbedingung:
nach welchen kriterien wählt man y1 und y2? kann man allgemein jeden wert für x, y1, y2 einsetzen?

noch eine frage:
vielleicht steh ich grad auf der leitung oder bring da irgendwas durcheinander, aber wenn ich überprüfen will, ob unsere funktion y' die lippschitzbedingung erfüllt, brauch ich ja zuerst die stammfunktion y. aber da y ja eine funktion in 2 variablen ist (f(x,y)) müsste ich ja wissen, ob y' nach y oder x abgeleitet wurde, damit ich's dann dementsprechend wieder nach x oder y integrieren könnte, um die korrekte stammfunktion zu erhalten..