Bsp. 41

[wolfskind]

Kann irgendwer für die partikuläre Lösung

c(x) = sinx * cosx * e^sinx

integrieren. Keine Ahnung, wie das geht.

[wolfskind]

hat keiner die lösung? ich brauch's bis montag.

[pHagi]

Also Homogen ist bei mir c * e^(-sinx)
(woher das + bei dir?)

inhomogen häng ich auch, bin aber schon etwas weiter als du, also folgendes:

c'(x) = sinx * cosx * e^(-sinx)

sin2x = 2* sinx * cosx ... die Formel für sin2x umformen
sinx * cosx = 1/2 * sin2x

--> c'(x) = 1/2 sin2x * e^(-sinx)
nur das mittels Produktintegration ist schwer, da komm ich noch nicht auf ein vernünftiges ergebnis.

[Murmel]

inhomogen häng ich auch, bin aber schon etwas weiter als du, also folgendes:

c'(x) = sinx * cosx * e^(-sinx)
Bist du sicher, dass du dich nicht im Zeichen geirrt hast? Bei mir kommt nämlich ebenfalls als partikuläre Lösung
c'(x) = sinx * cosx * e^(sinx) raus (weil c'(x)* e^(-sinx) = sinx * cosx)

Mein Taschenrechner sagt das Integral davon ist (sin(x)-1)*e^sin(x) nur wie man das händisch errechnet weiss ich leider auch nicht :(

lG,
Murmel

[wolfskind]

habs also so wie murmel.

meine überlegungen:
habe es substituiert mit u = sinx
c'(x) = u*u'*e^u

und weiß nicht, ob das jetzt stimmt:
u = 1 du

also c(x) = (int)u * e^u * 1 du

c(x) = (int)sinx * e^sinx dx

und dann partiell integrieren. stimmt das und außerdem zu welchem ergebnis führt das?

[paikuhan]

Mein Taschenrechner sagt das Integral davon ist (sin(x)-1)*e^sin(x) nur wie man das händisch errechnet weiss ich leider auch nicht :(

mit folgender formel:
Integral[u*v'] dx = u*v - Integral[u'*v] dx

u und v' dann so setzen:
u = sin x
v' = cosx*e^(sinx)


als allgemeine lösung erhalte ich dann:
y = c * e^(-sinx) + (sinx - 1)

als partikuläre lösung zur anfangsbedingung y(0)=1 hab ich c = 2.


mfg

[arnobel]

Kannst Du das im Detail zeigen ?

[max_kuffs]

mit folgender formel:
Integral[u*v'] dx = u*v - Integral[u'*v] dx

u und v' dann so setzen:
u = sin x
v' = cosx*e^(sinx)


als allgemeine lösung erhalte ich dann:
y = c * e^(-sinx) + (sinx - 1)

als partikuläre lösung zur anfangsbedingung y(0)=1 hab ich c = 2.


mfg ich löse es so auf:

(int)sin(x)*cos(x)*e^sin(x) = sin(x)*e^sin(x)+(int)cos(x)*e^sin(x)=
sin(x)*e^sin(x)+e^sin(x)=e^sin(x) * (sin(x)+1)

kannst du das mal überprüfen ob das bei dir auch rauskommt bei der integration. irgendwie kann ich nciht auf dein minus kommen. ich komm auf sinx+1

[paikuhan]

also das konstrukt

Integral[u*v'] dx = u*v - Integral[u'*v] dx

ist eine bestimmte integrationsmethode, und zwar die partielle integration, aus mathe 1 ;)


c'(x) = sinx * cosx * e^(sinx)

c(x) = Integral[sinx * cosx * e^(sinx)] dx


für die partielle integration sinx als u(x) und cosx * e^(sinx) als v'(x) wählen.
mit dieser wahl lassen sich u'(x) und v(x) leicht bestimmen, und zwar:

u(x) = sinx -> u'(x) = cosx
v'(x) = cosx * e^(sinx) -> v(x) = e^(sinx)
[da bei der ableitung von e^(sinx) im zuge der kettenregel, also innere ableitung mal der äußeren, cosx*e^(sinx) rauskommt]


dann in die formel einsetzen:

Integral[u*v'] dx = u*v - Integral[u'*v] dx

Integral[sinx * cosx * e^(sinx)] dx = sinx*e^(sinx) - Integral[cosx*e^(sinx)] dx (= Integral[v'(x)])

Integral[sinx * cosx * e^(sinx)] dx = sinx*e^(sinx) - e^(sinx)
Integral[sinx * cosx * e^(sinx)] dx = e^(sinx)*(sinx - 1)

c(x) = e^(sinx)*(sinx - 1)


wenn man dieses c(x) jetzt in y(p)(x) einsetzt, kürzt sich e^(sinx) weg, somit wäre y(p)(x) = sinx - 1.

hoff ich hab mich nirgendwo vertippt, sollte aber glaub ich so passen, wie murmel auch gesagt hat, comp.algebra system bestätigt eigentlich auch diese lösung.

mfg
paikuhan

[Studigel]

Hab das selbe Ergebnis und c = 2.

[McKlinge]

also ich versteh das ganze im großen und ganzen, aber irgendwo muss ich einen saublöden denkfehler drinnen haben, da ich beim Variieren der Konstanten das c(x) nicht wegbekomme, was sich bei euch ja so schön wegkürzt.
sprich: statt´

c'(x) = sin(x)cos(x)e^sin(x)

bekomme ich

c'(x) - c(x)sin(x) + c(x)cos(x) = sin(x)cos(x)e^sin(x)

irgendwas stimmt da nicht, denn für y homogen bekomme ich ja auch y = c/e^sin(x) bzw. y = c*e^(-sin(x)) ...is ja das selbe
wär nett, wenn sich das einer anschaun würde, was da falsch sein könnte!

[paikuhan]

hmm, wie sieht deine ableitung von y(p)(x) = c(x)*e^(-sinx) aus?

mfg

[konsch]

... wie komm ich jetzt auf die konkrete partikuläre Lösung?

"Man bestimme die partikuläre Lösung ... zur Anfangsbedingung y(0) = 1".

yp(x) = sin x - 1
yh(x) = e ^ (-sin x) . c

und
y(x) = yh(x) + yp(x) = e ^ (-sin x) . c + sin x - 1

Was muss ich jetzt wo einsetzen und wieso überhaupt?

Also ich setzte dann in die allgemeine Lösung einfach x=0 ein und y(x) = 1 und dann rechne ich mir das c aus?
Dann kommt 2 raus, aber ich weiss nicht woher ich weiss, dass ich das c ausrechnen soll :confused:

[paikuhan]

naja, das ist so wie bei den differenzengleichungen.

das y(x) ist die allgemeine lösung oder die lösungsgesamtheit der differentialgleichung.

durchs integrieren bekommen wir da halt einen freiheitsgrad, oder unsicherheitsfaktor, den wir mit einer anfangsbedingung wieder wegbekommen.

z.b.:
das integral von y'(x) = 1 würde y(x) = x + c ergeben. d.h. du hast also eine allgemeine lösung, du weißt, deine ursprüngliche funktion war eine gerade mit anstieg eins, aber die lösungsgesamtheit umfasst eben alle geraden mit anstieg eins.
wenn du jetzt eine anfangsbedingung vorgibst - z.b. y(0) = 0, kannst du in dem beispiel jetzt c = 0 ermitteln, und weißt somit die genaue lösung zu der anfangsbedinung (nämlich y(x) = x + 0, also eine gerade durch den ursprung)


mfg
paikuhan

[konsch]

naja, das ist so wie bei den differenzengleichungen.

....

mfg
paikuhan

thanks! :thumb:

Ich mein nur, wenn mich der Panholzer fragt, was ich da eigentlich gemacht habe, sollte ich schon mehr als nur "äh ... ich hab mir halt da das c ausgerechnet und äh .... so halt ... und äh vor allem" sagen können :devil: