Beispiel 35

[paikuhan]

als lösung dieses beispiels hätte ich xn = 1+4^n


xn+2 = 5xn+1 - 4xn | * z^(n+2)

xn+2*z^(n+2) = 5xn+1*z^(n+2) - 4xn*z^(n+2) | Summe bilden, von n=0 bis unendlich

Sum[xn+2*z^(n+2)] = Sum[5xn+1*z^(n+2)] - Sum[4xn*z^(n+2)]


Jetzt die Summen durch die erzeugenden Funktionen (und Ergänzungen, wo nötig) ersetzen:


X(z) - x0 - x1*z = 5z * [X(z) - x0] - 4z^2 * X(z)


X(z) auf eine Seite bringen, anschließend x0 und x1 einsetzen:


X(z) = (x0 + x1*z - 5z*x0) / (1 - 5z + 4z^2)

X(z) = (2 - 5z) / (1 - 5z + 4z^2)


Vom Nenner die Linearfaktoren bestimmen, und Partialbruchzerlegung durchführen. Für die Partialbruchzerlegung erhalte ich A = B = 1.
Ergibt:


X(z) = 1/(1 - z) + 1/(1 - 4z)


Davon kann man jetzt wieder die Summen rücksubstituieren und auf xn schließen:


X(z) = Sum[z^n] + Sum[4^n*z^n]

Sum[xn*z^n] = Sum[(1+4^n)*z^n]

-> xn = 1+4^n


Leider mit wenig Zwischenschritten (mangels Zeit für das ganze Summenzeugs usw. einzutippen)... aber vlt. könnt ihr ja schauen ob ihr das auch so macht bzw. ähnliches rauskriegt, etc.

So quasi: Diskussion über das Beispiel ist hiermit eröffnet ;)

mfg
paiku

[Studigel]

Die herkömliche Variante ist trotzdem viel schneller und ich glaub kaum dass man sich bei komplexeren Bsp mit den erzeugenden Funktionen irgendwie leichter tut, egal.

Dein Ergebnis stimmt so sag ich mal.

[MikeJRendar]

X(z) = (x0 + x1*z - 5z*x0) / (1 - 5z + 4z^2)

X(z) = (2 - 5z) / (1 - 5z + 4z^2)


Vom Nenner die Linearfaktoren bestimmen, und Partialbruchzerlegung durchführen. Für die Partialbruchzerlegung erhalte ich A = B = 1.
Ergibt:

wie bekommst du da die linearfaktoren. bzw mit welchen nennern machst du dann die partialbruchzerlegeng?

[MikeJRendar]

hab schon gefunden was du meinst :-)

http://www.mathematik.net/quadratische-gleichungen/q11s10.htm

[Cassandra]

und Partialbruchzerlegung durchführen
Kann mir vielleicht wer diese Partialbruchzerlegung vorrechnen, oder zumindest den Ansatz sagen, den ihr genommen habts? Sowas liegt mir nicht... :( (Wie man auf den Nenner kommt, ist mir schon klar.)

[MikeJRendar]

ich habe die partialbruchzerlegung so:


(2-5z) / (1-z)(1-4z) = A/(1-z) + B/(1-4z)
2-5z = A (1-4z) + B (1-z)
ausmultiplizieren und auf die form bringen:

5z = (2-A-B) + (4A+B) z

Koeffizientenvergleich:
z0: 0 = 2 -A -B
z1: 5 = 4A +B |+
-------------------
5 = 2+3A => A = 1 das in die erste zeile eingesetzt ergibt B = 1

[paikuhan]

Die herkömliche Variante ist trotzdem viel schneller und ich glaub kaum dass man sich bei komplexeren Bsp mit den erzeugenden Funktionen irgendwie leichter tut, egal.

Dein Ergebnis stimmt so sag ich mal.
hast schon recht..
aber die methode der erzeugenden funktionen hat sicher auch irgendwo ihre berechtigung :)
vielleicht sogar grade eben bei komplexeren beispielen, kann man sich da eventuell mit so einer erzeugenden funktion leichter "drüberschummeln"

naja, was solls.. ;)

[ein_stein2000]

habs jetzt auch ...

vielen dank für den Satz über die Zerlegung quadratischer Terme in Linearfaktoren!! bei dem bin i nima weiter kommen ...

hier die lösung: http://einstein2000.oldsch00l.com/uni/mathe2_ubung/Mathe2_Beispiel35.pdf

[Cassandra]

Satz über die Zerlegung quadratischer Terme in Linearfaktoren Auch bekannt als Fundamentalsatz der Algebra (eigentlich nur ein Spezialfall davon). Der besagt, daß jedes Polynom n-ten Grades genau n (evtl. komplexe) Nullstellen hat, und daß man sie auf diese Weise abspalten kann, und daß es mehrfache Nullstellen gibt, und daß komplexe Nullstellen immer zusammen mit einer konjugiert komplexen auftreten.

[jay]

ich hab eine frage zu diesem bsp:

und zwar könnte mir jemand die genauen rechenschritte von
Sum[xn+2*z^(n+2)] = ...
zu
X(z) - x0 - x1*z = ...
erklären?

das ist ja ein doppelter left shift oder?
müsste es dann nicht heissen:
Sum[xn+2*z^(n+2)] = z* (Sum[xn+1*z^(n+1)] -x1) / z = Sum[xn+1*z^(n+1)] -x1 = (z* (Sum[xn*z^n] - x0) / z) - x1 = X(z) - x0 - x1

laut den geposteten lösungen ist mein rechenweg falsch, darum würde ich mich freuen wenn jemand den richtigen rechenweg vom leftshift mit erklärungen posten könnte