7.4

[privato]

fz(z) = 1/(2*sqrt(z)) * [fx(sqrt(z)) + fx(-sqrt(z))]
Lösungsweg:
Fz(z) = W{X^2 <= z} = W{-sqrt(z) <= X <= sqrt(z)} =
=Fx(sqrt(z)) - Fx(-sqrt(z))

fz(z) = Fz(z)' = Fx(sqrt(z))' - Fx(-sqrt(z))' =
=fx(sqrt(z))*1/(2*sqrt(z)) - fx(-sqrt(z))*(-1/(2*sqrt(z)) =
= 1/(2*sqrt(z)) * [fx(sqrt(z)) + fx(-sqrt(z))

X ~ N(0,1):
Z = X²
fz(z) = 1/(2*sqrt(z))*[phi(sqrt(z)) + phi(-sqrt(z))] =
= 1/(2*sqrt(z)) * [1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2) + 1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2)] =
=1/(2*sqrt(z)) * 2/sqrt(2*Pi)*e(-z/2) =
= 1/sqrt(2*Pi*z)*e^(-z/2)

edit: phi(-sqrt(z)) statt sqrt(-z)...

[Juxi]

also ich versteh nur nicht was da beim satz 14.2 das I[0,oo](x) ist... aber sonst schaut das gut aus =)

[templar]

also ich versteh nur nicht was da beim satz 14.2 das I[0,oo](x) ist... aber sonst schaut das gut aus =)

I ist die Indikatorfunktion, die ist 1, wenn x im Intervall drinnen liegt und 0 sonst.
Die sagt im Prinzip nur aus, dass die Formel nur für x>=0 gilt.

[Juxi]

ah ;) okay dann ist es klar - übrigens war das auch heute in der VO ;) (das mit der Indikatorfunktion) tja man sollte doch ab und zu hingehen ...

[Freilandei]

@privato:

auf die gefahr hinauf, meine mathematischen (un)kenntnisse aufs ärgste zu entblößen:

fz(z) = Fz(z)' = Fx(sqrt(z))' - Fx(-sqrt(z))' =
=fx(sqrt(z))*1/(2*sqrt(z)) - fx(-sqrt(z))*(-1/(2*sqrt(z))
Ich Dachte, die Ableitung der Verteilungsfunktion Fx(x) entspricht der Dichtefunktion fx(x). Warum muss ich nun beim Ableiten von Fx(sqrt(z)) nun auch die innere ableitung von sqrt(z) berücksichtigen??

[Septic.exe]

... fz(z) = 1/(2*sqrt(z))*[phi(sqrt(z)) + phi(sqrt(-z))] =
= 1/(2*sqrt(z)) * [1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2) + 1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2)] = ...

Das "-z" unter der Wurzel sollte (hoffentlich *g*) doch "(-sqrt(z))" heißen ... oder?

Mir ist auch noch nicht ganz klar, wie Du dann auf die untere der beiden Zeilen kommst, weil wenn ich "(-sqrt(z))" für "x" in die Formel für die Dichte der Standard-Normalverteilung einsetze, erhalte ich im letzten Teil Deiner zweiten Zeite "e^(z/2)" ... und da komm' ich dann leider auf kein richtiges Ergebnis :-/.

[Pilrich]

@ Septic:
Du musst das Minus bei "- sqrt(z)" mitquadieren und damit bleibt z übrig und das Minus steht nach wie vor, vor dem Bruch!

Komme auf das selbe wie privato (nachdem ich mir seinen Ansatz angeschaut habe :))

[privato]

Das "-z" unter der Wurzel sollte (hoffentlich *g*) doch "(-sqrt(z))" heißen ... oder?

Mir ist auch noch nicht ganz klar, wie Du dann auf die untere der beiden Zeilen kommst, weil wenn ich "(-sqrt(z))" für "x" in die Formel für die Dichte der Standard-Normalverteilung einsetze, erhalte ich im letzten Teil Deiner zweiten Zeite "e^(z/2)" ... und da komm' ich dann leider auf kein richtiges Ergebnis :-/.
ups ja, hab ich mich verschrieben
phi(x) = 1/sqrt(2*Pi)*exp(-x²/2)
phi(-sqrt(x)) = 1/sqrt(2*Pi)*exp(-(-sqrt(x))²/2)
(-sqrt(x))² = x
also
phi(-sqrt(x)) = 1/sqrt(2*Pi)*exp(-x/2)

[THE_ONE]

Frage wie kommt man von:

PHI(.)-PHI(-.) auf 2 PHI(.) -1

kann mir das mal jemand ausführlich anschreiben!

[morgan]

Frage wie kommt man von:

PHI(.)-PHI(-.) auf 2 PHI(.) -1

kann mir das mal jemand ausführlich anschreiben!

PHI(-.) = 1-PHI(.)
-> PHI(.)-PHI(-.) = PHI(.)-(1-PHI(.)) = 2PHI(.)-1

[THE_ONE]

Danke für die schnelle Antwort!!!

[Cindja]

Kann jemand erklären?Ich hab nicht genauer verstanden:confused: :confused: :confused:

[Millencolin]

ich hab:
1/(2*z*PI)^(1/2) * e^(-z^(1/2)/2) * z^(-1/4)

kann das stimmen ??? :shinner:

[Kugelfisch]

fz(z) = 1/(2*sqrt(z))*[phi(sqrt(z)) + phi(-sqrt(z))] =

sollt das nicht = 1/(2*sqrt(z))* [2*phi(sqrt(z) - 1] sein??

= 1/(2*sqrt(z)) * [1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2) + 1/sqrt(2*Pi)*e(-z/2)] =
=1/(2*sqrt(z)) * 2/sqrt(2*Pi)*e(-z/2) =
= 1/sqrt(2*Pi*z)*e^(-z/2)

edit: phi(-sqrt(z)) statt sqrt(-z)...

und dann käme da ja:

1/(2*sqrt(z))* [2/(sqrt(2*Pi)) * e^(-z/2) - 1] raus...


Oder lieg ich da falsch?

Lg

Kugel

[THE_ONE]

PHI(-.) = 1-PHI(.)
-> PHI(.)-PHI(-.) = PHI(.)-(1-PHI(.)) = 2PHI(.)-1
Gilt das für alle Verteilungen oder nur für die StandartNormalverteilung???

[THE_ONE]

sollt das nicht = 1/(2*sqrt(z))* [2*phi(sqrt(z) - 1] sein??


und dann käme da ja:

1/(2*sqrt(z))* [2/(sqrt(2*Pi)) * e^(-z/2) - 1] raus...


Oder lieg ich da falsch?

Lg

Kugel Ich glaube für die Dichte gilt das nicht den wenn du die Dichte von der Normalverteilung ansiehst, dann kannst du erkennen das du Symmetrisch um null bist. Dh. mit phi(.) bekommst du die Fläche rechts von der 0 und mit phi(-.) links von 0. Da das ja Flächen sind (immer positiv) brauchen wir da nix von 1 abziehen.Das würde dann auch irgendwie logisch erscheinen der -1 würde da nicht passen. (lass mich aber gerne eines besseren belehren)