View Full Version : [TU] - 6.1
Irgendwie kommen mir diese Woche alle Beispiele so schwer vor...
Also zum Beispiel:
Wie muss man da genau vorgehen? Die Summe aller Punktwahrscheinlichkeiten einer geometrischen Verteilung ergibt 1. Muss man nun zeigen, dass Z wieder eine geometrische Verteilung ist? Oder sollte man durch einsetzen und Summenberechnungen auf 1 kommen? Bin jedenfalls bei beiden Methoden auf nichts gescheites gekommen. Hat jemand einen vernünftigen Ansatz?
mfg
[EDIT] ups... falschen Titel gewählt...
also ich komm da auch auf nix gescheites ...
wie habt ihr das gelöst?
Also ich würde mal sagen, das Z nur dann sinnvoll ist, wenn X eine natürliche Zahl 1,...oo ist... damit ist für
X=1 => Z=1 p{X=1}=1/2
X=2 => Z=0 p{X=2}=1/4
X=3 => Z=1 p{X=3}=1/8
X=4 => Z=4 p{X=4}=1/16
X=5 => Z=9
X=6 => Z=16
X=7 => Z=25
X=8 => Z=36
dann ist p{Z=0} 1/4, p{Z=1}=5/8, p{Z=4}=1/16 usw... für z>2 ist p(1/(2^(sqrt(z)+1)))
Die Summe wäre trivialerweise 1, wenn das auf die geometrische Verteilung zurückgeführt wird...
ka, ob das stimmt oder stimmen kann:confused:
edit: Z für X=7,8 ausgebessert
Ich komm aufs gleiche Ergebnis, hab das Ganze aber etwas formaler gerechnet:
pz(z) = W{(X-2)² = z} = W{X = +-sqrt(z)+2} = px(sqrt(z)+2) + px(-sqrt(z)+2) für z>0, px(sqrt(z)+2) für z=0 (weil die Vereinigung der beiden Ereignisse X = +-sqrt(z)+2 hier nicht disjunkt sind),
mit px(z) = (1/2)z (laut Angabe)
Der Merkmalraum Mz ist die Menge aller Quadratzahlen >= 0 (sieht man durch Einsetzen in Z)
Für pz(z) ergibt sich dann:
1/4 für z=0,
5/8 für z=1,
(1/2)^(sqrt(z)+2) für z >=4 (weil px(-sqrt(z)+2) = 0)
Die Summe kann man über die geometrische Reihen errechnen:
Summe(z aus Mz): pz(z) = 1/4 + 5/8 + Summe(z>=4): (1/2)^(sqrt(z)+2)
Jetzt mach ich eine Substitution y = sqrt(z):
= 7/8 + Summe(y>=2): (1/2)^(y+2) = 7/8 + Summe(y>=4): (1/2)^(y) =
7/8 + 1 - (1/2)³ -(1/2)² - 1/2 = 1
Hoffe das stimmt so.
Septic.exe
06-12-2004, 11:54
Mein Vorschlag (natürlich wieder ohne Gewähr ;)):
p_z(z) = 0,5^(+-(sqrt(z))+2)
An dem Nachweis kiefel ich grad :).
X=1 => Z=1 p{X=1}=1/2
X=2 => Z=0 p{X=2}=1/4
X=3 => Z=1 p{X=3}=1/8
X=4 => Z=4 p{X=4}=1/16
X=5 => Z=9
X=6 => Z=16
X=7 => Z=32
X=8 => Z=64
Ab X=7 stimmen die Z-Werte nicht mehr:
X=7 => Z=25
X=8 => Z=36
fuer den nachweis, dass Summe pz(z) =1
Reichts doch eigentlich wenn man pz(z)=(1/2)^(sqrt(x)+2) umformt zu ..
1/4 * Summe[(1/2)^sqrt(x)] = 1/4 * (1/(1-1/2))^2 =1
mfg shades
winequarter
06-12-2004, 14:03
Hmmm. Ich hab da ziemlich viele Fragen:
pz(z) = W{(X-2)² = z} = W{X = +-sqrt(z)+2} = px(sqrt(z)+2) + px(-sqrt(z)+2) für z>0, px(sqrt(z)+2) für z=0 (weil die Vereinigung der beiden Ereignisse X = +-sqrt(z)+2 hier nicht disjunkt sind),
Lass ich mir noch einreden. Wobei ich auch nicht weiß, wie man auf das kommt :confused: Warum für z=0 eine andere Formel verwendet wird: :confused: :confused:
mit px(z) = (1/2)z (laut Angabe)
Woher? Woher? Gibts da irgendwelche Formeln, die man kennen sollte (und ich offensichtlich nicht kenne), bzw. ist das irgendwo im Buch oder Folien erklärt??
Der Merkmalraum Mz ist die Menge aller Quadratzahlen >= 0 (sieht man durch Einsetzen in Z)
Für pz(z) ergibt sich dann:
1/4 für z=0,
5/8 für z=1,
(1/2)^(sqrt(z)+2) für z >=4 (weil px(-sqrt(z)+2) = 0)
Aber bei z=4 px(-sqrt(z)+2) nicht gleich 0, sondern 1
Den Rest hab ich mir noch nicht angesehen. Irgendwie steh ich da voll auf der Leitung. Vielleicht liegts daran, dass ich überhaupt nicht weiß, was hier gemacht wird.
Bitte um Hilfe!!!
EDIT: Hab schon ein wenig dazu im Buch gefunden. Werd mir das mal gründlich durch den Kopf gehen lassen.
PS: Die Prüfung schaff ich NIE!!!
I
Jetzt mach ich eine Substitution y = sqrt(z):
= 7/8 + Summe(y>=2): (1/2)^(y+2) = 7/8 + Summe(y>=4): (1/2)^(y) =
7/8 + 1 - (1/2)³ -(1/2)² - 1/2 = 1
Klingt eigentlich alles ganz logisch, nur irgendwie check ich nicht ganz wie du auf den 1er bei 7/8 + !!! 1 !!! - (1/2)³ -(1/2)² - 1/2 = 1 kommst.
Die 7/8 bleiben uns noch vom Anfang erhalten, (1/2)³, (1/2)², 1/2 müssen wir abziehen, da wir erst bei 4 anfangen. Aber wenn ich jetzt die Formel für die geometrischen Reihe anwende, dann bekommt bei mir nen 2er statt dem 1er.
Es steht ja dann dort: 1/(1-1/2) und das ist 1/0.5=2, oder hab ich irgendwo noch auf etwas vergessen??
Klingt eigentlich alles ganz logisch, nur irgendwie check ich nicht ganz wie du auf den 1er bei 7/8 + !!! 1 !!! - (1/2)³ -(1/2)² - 1/2 = 1 kommst.
Die 7/8 bleiben uns noch vom Anfang erhalten, (1/2)³, (1/2)², 1/2 müssen wir abziehen, da wir erst bei 4 anfangen. Aber wenn ich jetzt die Formel für die geometrischen Reihe anwende, dann bekommt bei mir nen 2er statt dem 1er.
Es steht ja dann dort: 1/(1-1/2) und das ist 1/0.5=2, oder hab ich irgendwo noch auf etwas vergessen??
Summe(y=4,inf) [(1/2)^y] = 2 - 1 (!, (1/2)^0 nicht vergessen) - 1/2 - 1/4 - 1/8 :)
Summe(y=4,inf) [(1/2)^y] = 2 - 1 (!, (1/2)^0 nicht vergessen) - 1/2 - 1/4 - 1/8 :)
ahh, ja thx. Hab auf das 1/2^0 total vergessen.
Hmmm. Ich hab da ziemlich viele Fragen:
Lass ich mir noch einreden. Wobei ich auch nicht weiß, wie man auf das kommt :confused: Warum für z=0 eine andere Formel verwendet wird: :confused: :confused:
Ist ein wenig kompliziert, ich hab mir gestern darüber auch einige Zeit den Kopf zerbrochen:
Im Prinzip gibt's nur den Ausnahmefall z=1, weil der durch zwei verschiedene x-Werte entstehen kann (x=1 oder x=3), die restlichen z-Werte inkl. 0 treffen nur für einen bestimmten x-Wert zu (z.B. für z=0 ist x=2), deshalb gibt's auch nur für z=1 zwei Summanden.
Woher? Woher? Gibts da irgendwelche Formeln, die man kennen sollte (und ich offensichtlich nicht kenne), bzw. ist das irgendwo im Buch oder Folien erklärt??
Formel für geometrische Verteilung: px(z) = p*(1-p)^(z-1) = (1/2)z
Aber bei z=4 px(-sqrt(z)+2) nicht gleich 0, sondern 1
px(-sqrt(z)+2) = px(0) = 0, weil die Formel der geometrische Verteilung nur für x>0 gilt.
(1/2)^(sqrt(z)+2) für z >=4 (weil px(-sqrt(z)+2) = 0)
Wie kommst du darauf?
Fertiges PDF!! Bitte um Verbesserungsvorschläge !!! MFG
ein_stein2000
07-12-2004, 08:30
normal bin i jo net so genau, aber als i DAS gelesn hab, musst i einfach herzhaft lachen ....
X sei eine geometrisch versteilte sG mit p = 1/2.
außerdem möcht i mich bei dir bedanken ... die außarbeitungen helfen enorm den stoff zu verstehen ...
Kugelfisch
07-12-2004, 10:05
Fertiges PDF!! Bitte um Verbesserungsvorschläge !!! MFG
Nur ne Kleinigkeit:
x = 1 2 3 4 5 6 ....
p(x) = 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 ....
y = 1 0 1 4 9 16 ....
...
Lg
Kugel
Fertiges PDF!! Bitte um Verbesserungsvorschläge !!! MFG Thx, thx , thx,
:applaus:
winequarter
07-12-2004, 10:56
@templar
Danke für die Erklärungen. Haben sehr weitergeholfen
IceBreaker
07-12-2004, 11:33
@THE_ONE
letzte formel in der PDF Datei lautet summe von k=1 bis oo und weiters steht dann 2 - (1/2)^0 ???? woher kommt jetzt 0?
Greetz,
Ice
ein_stein2000
07-12-2004, 11:48
i glaub da hat er sich vertippt .... sollte heißen summe von k=0 bis unendlich = 2 und dann noch das k=0 abziehen ... also - 0,5^0 .... im endeffekt geht also die summe von k=1 bis unendlich ....
IceBreaker
07-12-2004, 11:53
dachte ich mir ;) vielen dank
Greetz
Ice
You're really THE ONE! :thumb:
Fertiges PDF!! Bitte um Verbesserungsvorschläge !!! MFG
Hab einen Fehler entdeckt:
Pz= (1/2)^(n+2) da gehört
Pz= (1/2)^(\sqrt(n)+2)
In der Lösung vom THE_ONE (Danke!!) steht:
Bei Umordnung sieht man, dass wir eine volständige geometriesche Reihe ohne 1 haben. Ich verstehe irgendwie nicht was damit gemeint ist?
Könnte jemand bitte erklären?
In der Lösung vom THE_ONE (Danke!!) steht:
Bei Umordnung sieht man, dass wir eine volständige geometriesche Reihe ohne 1 haben.
Ich verstehe irgendwie nicht was damit gemeint ist?
Könnte jemand bitte erklären?
Er meint damit, dass du:
1/4 + 1/2 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
umordnen kannst, dass es so aussieht:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
und das ist dasselbe wie
(SUM{k=0..inf} (1/2)^k) - 1
Und weil wir am Schluss die 1 (den 1er *gg* - Insider kennen sich aus, Viertl sei gegruesst *g*) wieder abziehen, koennen wir gleich einen Indexwechsel machen, weil (1/2)^0 = 1, somit machen wir
SUM{k=1..inf} (1/2)^k
und das ist gleich 1.
Verstanden?
Bye,
Fritz
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