7.3

[Shades]

a) Wenn ich das c heraus nehme und [x^2*e^(-x^2)] von -oo bis +oo integriere bekomme ich [sqrt(pi)/4]

Damit wir eine Dichte haben, muss das Integral von -oo bis +oo 1 ergeben. Also ist das c meiner meinung nach [4/sqrt(pi)].

Dichte und Verteilungsfunktion sehen dann so aus (siehe Attachment)


hm..

[THE_ONE]

Hab das ganze in Mathematika eingegeben und bekomm das selbe raus für c = 4/Wurzel(PI).

Hat jemand eine Idee wie das genau beim Punkt b funktioniert?

MFG

[michi204]

Hat jemand eine Idee wie das genau beim Punkt b funktioniert?wie wäre es damit? hoffe das ist jetzt kein totaler blödsinn :D


Z = X² Z = psi(X) => psi^(-1)(X) = sqrt(X)

Eingesetzt in Satz 14.2:

g(x) = f(sqrt(x))*|d/dx sqrt(x)|

g(x) = c*(sqrt(x))² * |d/dx qrt(x)|

g(x) = x*sqrt(π)/4 * |1/(2*sqrt(x))| falls ihr die zeichen nicht richtig seht: π=pi ²=^2

mein tr gibt mir übrigens als endergebnis sqrt(π*x)*sqrt(sgn(x))/8 aus.

EDIT: das ist natürlich, da ja die funktion nur für x > 0 sinnvoll definiert ist, gleich sqrt(πx)/8

lg michi

[psycho]

Ich würde für b. sagen, dass man einfach in die Formel einsetzen kann, weil x>0 ist, somit ist die Umkehrfunktion für x^2 eindeutig bestimmt, also 2sqrtxe^(-x)/sqrtpi...

[- TeMET_noSCE -]

Hab das ganze in Mathematika eingegeben und bekomm das selbe raus für c = 4/Wurzel(PI).
mit derive komm ich auch auf das selbe ergebnis, nur wie rechnet man das zu fuß?

[michi204]

mit derive komm ich auch auf das selbe ergebnis, nur wie rechnet man das zu fuß?ich finde den link leider im moment nicht, aber auf dem matroid-matheplaneten (http://matheplanet.com/)gibt es etwas dazu... es ist "zu fuß" anscheinend für normale informatiker gar nicht berechenbar, nur über so eine erf-funktion :distur: ich habe es dann lieber gelassen.

EDIT: erf heißt es, nicht elf :rolleyes:

könnte evtl jemand meinen punkt b kommentieren?

lg michi

[gst]

ich finde den link leider im moment nicht, aber auf dem matroid-matheplaneten (http://matheplanet.com/)gibt es etwas dazu... es ist "zu fuß" anscheinend für normale informatiker gar nicht berechenbar, nur über so eine erf-funktion :distur: ich habe es dann lieber gelassen.http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?forum=4035&topic=9730

[gst]

wie wäre es damit? hoffe das ist jetzt kein totaler blödsinn :D

falls ihr die zeichen nicht richtig seht: π=pi ²=^2

mein tr gibt mir übrigens als endergebnis sqrt(π*x)*sqrt(sgn(x))/8 aus.ich habs folgendermassen geloest:

Ψ⁻¹(x) ist √(x)

d.h. wenn ich f(Ψ⁻¹(x)) berechnen will ersetze ich einfach alle x durch √(x) - d.h. in unserem fall werden die beiden x² zu x.

g(x) ist dann c*x*exp(-x)*abs(diff(sqrt(x),x)). wenn man das ausrechnet erhält man: c*√(x)*exp(-x)/2.

[- TeMET_noSCE -]

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?forum=4035&topic=9730ich glaub da bleib ich bei meiner lösung mit derive :shinner:
aber danke für den link!

[privato]

b) komme auf das gleiche Ergebnis wie psycho:
fz(x) = 2*sqrt(x/Pi)*e^(-x)

edit: x statt z...

[Juxi]

@privato: okay ;) hat sich erledigt...

bei a, bekomm ich das selbe raus nur leider ned so schön, mein TR meint nur c=2.256758334191 ;)

[Septic.exe]

ad b) mein Käse zum Ansatz: Z = X^2 => ψ(X) = X^2 => ψ^(-1)(X) = 1/(X^2) = X^(-2)

[Pilrich]

@Septic:
Mit ψ^(-1)(X) ist die Umkehrfunktion gemeint, soviel ich weiß und nicht einfach der Kehrwert

[Septic.exe]

@Septic:
Mit ψ^(-1)(X) ist die Umkehrfunktion gemeint, soviel ich weiß und nicht einfach der Kehrwert

:hewa: ... wer zuerst denkt und dann postet ist klar im Vorteil *g* ... danke!

[- TeMET_noSCE -]

ich hab bei b) trotzdem noch ein kleines problem mit dem ergebnis, da muss ich irgendwo einen rechenfehler eingebaut haben:

EDIT: zu peinlich um es stehn zu lassen...

was stimmt da nicht? :confused:

[Domokun]

Also ich habs so...


f(x) = (4/sqrt(pi)) * x^2 * e^(-(x^2))
psi^(-1)(x) = sqrt(x)

g(x) = f(psi^(-1)) * |d/dx psi^(-1)(x)|
= f(sqrt(x)) * |d/dx sqrt(x)|
= 4/sqrt(PI) * (sqrt(x))^2 * e^(-(sqrt(x))^2) * 1/2 *|1/sqrt(x)|
= 2/(sqrt(PI))* x *e^(-x) * |1/(sqrt(x))|
= 2 * x * e^(-x) / sqrt(PI) * |sqrt(x)|

[don]

Also ich habs so...

ich auch....

[fuxi17]

Auf den Folien steht, dass man den Absolutbetrag von d/dx psi^-1(x) nehmen muss, und im Buch von Viertl steht aber nix vom Absolutbetrag.

und wie schaut die Verteilungsfunktion zu der Dichte aus??
Wie integriert man den Ausdruck??

[seg2]

Also bei mir schaut die Dichtefunktion geplottet etwas anders aus :confused:

EDIT: Ich habe nun den für unser Beispiel "interessanten" Teil der Dichtefunktion schraffiert, damit es klar ist.
Ich finde diese Dichtefunktion an sich sehr interessant - Ist so ein Doppelhöcker eigentlich möglich?

[sage]

Ja...
aber in der Angabe steht 0 < x < inf.
ansonsten ist f(x) = 0

[- TeMET_noSCE -]

Also ich habs so...


f(x) = (4/sqrt(pi)) * x^2 * e^(-(x^2))
psi^(-1)(x) = sqrt(x)

g(x) = f(psi^(-1)) * |d/dx psi^(-1)(x)|
= f(sqrt(x)) * |d/dx sqrt(x)|
= 4/sqrt(PI) * (sqrt(x))^2 * e^(-(sqrt(x))^2) * 1/2 *|1/sqrt(x)|
= 2/(sqrt(PI))* x *e^(-x) * |1/(sqrt(x))|
= 2 * x * e^(-x) / sqrt(PI) * |sqrt(x)|
danke, fehler gefunden!
:hewa: :hewa: :hewa: :hewa: :hewa:
irgnorierts ab jetzt alle meine posts zum thema statistik, wird besser sein...

[seg2]

Ja...
aber in der Angabe steht 0 < x < inf.
ansonsten ist f(x) = 0
Falls das auf meine Dichtefunktion bezogen ist:
Schau mal auf die f(x)-Werte, das Maximum liegt bei mir bei 0,8 und bei Shades bei 0,4 (circa halt)!

[THE_ONE]

Müssen wir die Verteilungsfunktion graphisch auswerten oder reicht Formel

[Foolish_Genius]

Müssen wir die Verteilungsfunktion graphisch auswerten oder reicht Formel

also ich persönlich wäre schon einmal mit der formel sehr zufrieden ;) steht nichts davon in der angabe dass die graphisch ausgewertet sein muss (steht ja sonst immer dabei).

[orpheus]

(a) Das Integral berechnet sich folgendermaßen "zu Fuß":

0Integraloo(x²exp(-x²)dx) = -0,5 0Integraloo((+x)(-2x)exp(-x²)dx) =
-0,5 (xexp(-x²)[0,oo] - 0Integraloo(exp(-x²)dx) = 0,5 0Integraloo(exp(-x²)dx)

Das letzte Integral könnte man entweder mittels einer Koordinatentransformation (unter Zuhilfenahme eines kleinen Tricks) in den
(r, phi) Raum lösen, oder in dem bekannten Ergebis -ooIntegraloo(exp(-x²/2)dx) = SQR(2PI) eine Substitution (u:=x/SQR(2)) durchführen. Beide Wege führen zu SQR(PI)/2 und folglich zu c = 4/SQR(PI).

(b) Die Dichte von Z = X² ermittelt sich aus folg. Formel G(x) = F(SQR(x))
G(x)...Verteilungsfunktion von Z; F(x)...Verteilungsfunktion von X
Anwendung der Kettenregel liefert dann für g(x)...Dichtefunktion von Z:

g(x) = 0,5*f(SQR(x))*x^(-1/2)
g(x) = 2SQR(x/PI)*exp(-x)

G(x) läßt sich, mittels partieller Integration, in Abhängigkeit von der Standardnormalverteilungsfunktion folgendermaßen schreiben:

G(x) = 2PHI(SQR(2x)-1) -2SQR(x/PI)exp(-x)

Die Ableitung von G(x) nach x bestätigt das Ergebnis für g(x).

[THE_ONE]

Hab das ganze jetzt fertig ! Die Verteilung Formelmäßig wiederzugeben funkt ned recht! Bekomm in Mathematika eine Errorfunktion d.h. das integral dürfte sich so nicht lösen lassen,habs deshalb nummerisch berechnet und zeichnen lassen.

Wenn jemand Fehler findet bitte melden

[ian]

seh ich das richtig, dass das ding nach Gamma(3/2,1) verteilt ist?

[THE_ONE]

Tut leid ist nicht bsp 7.2 sondern 7.3 habs vergessen umzubenennen!!

[daff]

THE_ONE: bei b) hast du einerseits das Quadrat bei c*x^2*e^(-x^2) vergessen und andererseits solltest du für c=4/SQRT(pi) einsetzen, nicht nur c=4/pi.