Bsp 124

[maj.pain]

kann mir wer den satz von Steinitz erklären? ich hab null plan wie das gehen soll! ich mein austauschen is schön und gut. aber warum tausch ich die mistdinger aus?

[jjh]

1. Wie genau der Austauschsatz funktioniert:
-> am besten siehe Mathe Buch S.92

Also, wenn du die Basis von einem VR hast, dann kannst du beliebige l.u. Vektoren reintauschen, und du kriegst dann eine andere Basis vom selben Vektorraum.

2. Wozu man das ganze braucht

z.B.: Wenn du wissen willst, ob irgendwelche komischen drei Vektoren eine Basis vom Vektorraum R3 sind, dann reicht es zu zeigen, dass diese drei Vektoren in R3 l.u. sind. Dann kannst du sie naemlich in die normale Basis von R3 hineintauschen, und weisst: diese neue Basis ist Basis von R3.


3. Im Bezug auf Bsp.124

Es ist leicht zu zeigen dass die Vektoren, die man in die Basis hineintauschen soll, l.u. sind, und dass man sie also auch tatsaechlich hineintauschen darf.

Nur: Was fuer Vektoren werden "hinausgetauscht", sprich, welche Vektoren der Basis werden ersetzt? Im Buch steht folgendes (S.92) -> attachment Scannen.jpg

Ich hoffe das hat geholfen!
Sonst steh ich naemlich auch bei dem Beispiel an!

[jack83]

Also ich hab das mit dem Austauschlemma (Buch S.91) gelöst. Und aus dem Austauschlemma ergibt sich ja der Austauschsatz von Steinitz.
Also man rechnet zuerst mit der Basis passenden Lamdas zum einzutauschenden Vektor aus, dh welche Lamdas muss ich einsetzen um zum einzutauschenden Vektor zu kommen. Und dann kann ich den Vektor gegen jeden eintauschen, bei dem das Lambda nicht null ist.

l = lamdda

l1(1,1,0) + l2(2,3,3) + l3(3,3,2) = (-1,0,1)
l1 = 0, l2 = 1, l3 = -1

Dann habe ich den neuen Vektor gegen den 3. getauscht.
Eintauschen des 2. Vektors.

l1(1,1,0) + l2(2,3,3) + l3(-1,0,1) = (1,2,1)
l1 = 2, l2 = 0, l3 = 1

Den gegen den 1. eingetauscht, und die neue Basis schaut dann so aus:

{(1,2,1),(2,3,3),(-1,0,1)}

Ich bitte euch um euer Feedback ob das überhaupt richtig ist.

Lg Jack83

[jjh]

@jack83: Ich habs genauso probiert, und hab das ganze eingetippt.
-> siehe attachment

[Tingl]

Es ist leicht zu zeigen dass die Vektoren, die man in die Basis hineintauschen soll, l.u. sind, und dass man sie also auch tatsaechlich hineintauschen darf.

kannst du mir bitte sagen wie man das zeigen kann das die l.u. sind ? ich kenn mich da leider nicht so richtig aus ... :confused:

danke:)

[maj.pain]

also ich denk die sind l.u. wenn alle lamda = 0 sind

[Tingl]

und wie kann ich das z.b. beim beispiel 124 berechnen ?? :eek2:

[maj.pain]

ich habs probiert wanns passt.

GARANTIER ABER FÜR NIX. es kann sein das ich grad den totalen bullshit verzapf

[nebo]

Linear unabhängig bedeutet, dass der Nullvektor (dargestellt als Linearkombination der hineinzutauschenden Vektoren) nur die triviale Darstellung (also (0,0,0)) haben darf.

Anders gesagt: alle lambda oder µ oder wie man sie bezeichnet müssen 0 sein.

Das kann man so zeigen: (ich verwende jetzt µ statt lambda)

µ1*(-1,0,1)+µ2*(1,2,1) = (0,0,0)
Da erhält man ein Gleichungssystem, das so ausschaut:

-µ1+µ2=0
0+2µ2=0
µ1+µ2=0

Löst man dieses Gleichungssystem erhält man: µ1=µ2=0
d.h. die Vektoren sind l.u.

Falls das falsch formuliert ist oder andere Fehler drin sind, bitte melden (dann lerne ich noch was dazu :)).