6.2

[HomerJay]

b)
Bei der geometrischen Verteilung steht,dass die Summe aller Punktwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Heisst das,dass dann Summe(x=0,oo)[1- ( p(1-p)^x-1) ) ] gleich 0 ist ?? weil ja p(1-p)^x-1 = 1 ?

oder versteh ich da was falsch?

[privato]

b)
Bei der geometrischen Verteilung steht,dass die Summe aller Punktwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Heisst das,dass dann Summe(x=0,oo)[1- ( p(1-p)^x-1) ) ] gleich 0 ist ?? weil ja p(1-p)^x-1 = 1 ?

oder versteh ich da was falsch?b) also ich komme auf einen erwartungswert von 1/p
F(x) = Summe(z=1...x) von p(1-p)^(z-1) =
p*Summe(z = 0 ... x-1) von (1-p)^z = 1 - (1-p)^x

Summe(x=0..unendlich) von [1-F(x)] =
1 + Summe(x=1..unendlich) von (1-p)^x = 1/p

c) 1) erwartungswert = 2 (unbedingt)
2) erwartungswert = 5 (bedingt durch X >= 3)

[gpro]

wenn ich als bedingte wahrscheinlichkeitsfunktion von 5-1
W{X=x | X>=3} = 9/8 * (2/3)^x nehme komm ich auf einen erwartungswert von 6,75
den rest hab ich genauso

[HomerJay]

Wie kommt ihr auf die erwartungswerte ?

[Septic.exe]

... F(x) = Summe(z=1...x) von p(1-p)^(z-1) ...

F(x) ist doch p(1-p)^(x-1), für x = 1, 2, 3, ... ... das hat doch nix mit 'ner Summe zu tun ... oder überseh' ich da was?

[privato]

F(x) ist doch p(1-p)^(x-1), für x = 1, 2, 3, ... ... das hat doch nix mit 'ner Summe zu tun ... oder überseh' ich da was?F(x) ist aber die Verteilungsfunktion, nicht die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x). F(x) = W {X <= x}, bei diskreten Verteilungen ist das somit die Summe

[orpheus]

bei mir sieht's so aus:

(b) 1/p
(c) unbedingt: 2
bedingt: 6,75

[Septic.exe]

F(x) ist aber die Verteilungsfunktion, nicht die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x). F(x) = W {X <= x}, bei diskreten Verteilungen ist das somit die Summe

Agreed ;) ... aber wie ergibt sich dann die 2. Zeile:

p*Summe(z = 0 ... x-1) von (1-p)^z = 1 - (1-p)^x

aus der 1. Zeile:

F(x) = Summe(z=1...x) von p(1-p)^(z-1) =?

[Sandalwood]

Summe(x=0..unendlich) von [1-F(x)] =
1 + Summe(x=1..unendlich) von (1-p)^x = 1/p



Komm auch auf das Ergebnis, aber nur in Mathematica. Gibt's auch eine Möglichkeit (die uns im dritten Semster bekannt sein sollte), das ganze händisch zu berechnen? Hab' mir mal die ersten paar Reihenglieder aufgeschrieben, und konnte bis dato kein brauchbares Muster zum kürzen finden ...

mfg

EDIT: Bin inzwischen schon selbsr draufkommen

[psycho]

Wie kommst denn auf 6,75? Ich hätte gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung X>=3 für x>=3 gleich ist wie x-3 der "alten" Funktion, der Erwartungswert daher 3+Erwartungswert ohne Bedingugng = 5...

[Sandalwood]

p*Summe(z = 0 ... x-1) von (1-p)^z = 1 - (1-p)^x

aus der 1. Zeile:

F(x) = Summe(z=1...x) von p(1-p)^(z-1) =?

Es handelt sich hier um eine endliche geometrische Reihe - dafür gibt's ne Formel:

Summe(i=0...x) von q^i = ((q^(x+1))-1)/(q-1)

oder auf
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Algebra#Endliche_Reihen

Einfach einsetzen und kürzen.

[- TeMET_noSCE -]

Wie kommst denn auf 6,75? Ich hätte gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung X>=3 für x>=3 gleich ist wie x-3 der "alten" Funktion, der Erwartungswert daher 3+Erwartungswert ohne Bedingugng = 5...ich komm auch auf 5:
Summe[x=3..unendl.](x*(9/8)*(2/3)^x) = 5
(sagt zumindest derive...)

[Septic.exe]

... p*Summe(z = 0 ... x-1) von (1-p)^z = 1 - (1-p)^x ...

K, das mit der Reihe ist jetzt klar.

Aber wo kommt der 1-er her?

(Btw, in Deiner angegebenen Formel Sandalwood, ist meiner Meinung nach Summe (i = 0 bis x) und nicht 1 richtig ... oder?)

Sorry, aber ich steh' mom gehörig auf der Leitung (nach 5 Stunden cg auch kein Wunder :D).

[Sandalwood]

Aber wo kommt der 1-er her?


Aus der Formel für endliche geometrische Reihen

p*((1-p)^x-1)/((1-p)-1)=
p*((1-p)^x-1)/(-p)=
((1-p)^x-1)/(-1)=
-(1-p)^x+1=
1-(1-p)^x


(Btw, in Deiner angegebenen Formel Sandalwood, ist meiner Meinung nach Summe (i = 0 bis x) und nicht 1 richtig ... oder?)


Jo hast recht!



... uuggghhh ... endlich fertig mit Statistik .. jetzt geht's ans Saufen!

schönes Wochenende!

[Septic.exe]

... Summe(x=0..unendlich) von [1-F(x)] =
1 + Summe(x=1..unendlich) von (1-p)^x = 1/p ...

K, bis hierher versteh' ich's jetzt.

Dann setz ich mal x = 0 (deswegen stell' ich in der letzten Zeile einen 1-er vor die Summenformel). Dann komm ich auf die letzte Zeile. Summe (x = 1 bis oo) von (1-p)^x ergibt auch 1/p ... nur wo "wandert" der vorgestellte 1-er jetzt wieder hin? Weil das müsste doch am Ende 1 + 1/p heißen und das würde 1/2 ergeben!

[privato]

K, bis hierher versteh' ich's jetzt.

Dann setz ich mal x = 0 (deswegen stell' ich in der letzten Zeile einen 1-er vor die Summenformel). Dann komm ich auf die letzte Zeile. Summe (x = 1 bis oo) von (1-p)^x ergibt auch 1/p ... nur wo "wandert" der vorgestellte 1-er jetzt wieder hin? Weil das müsste doch am Ende 1 + 1/p heißen und das würde 1/2 ergeben!also nochmal in langer form:
F(x) = 1-(1-p)^x für x >= 1
Summe(x=0,unendlich) von [1-F(x)] = ....F(0) = 0....=
1 - F(0) + Summe(x=1,unendlich) [1-F(x)] = 1 + Summe(x=1,unendlich) [1-1+(1-p)^x] =
1 + Summe(x=1,unendlich) [(1-p)^x] = *

Summe(x=1,unendlich) [(1-p)^x] = Summe(x=0,unendlich) [(1-p)^x] - 1
(->(1-p)^0) = 1/(1-1+p) -1 = 1/p - p/p = (1-p)/p

* = 1 + (1-p)/p = p/p + (1-p)/p = (p+1-p)/p = 1/p
alles klar? :)

[Christo]

Hallo,
hab eine Frage, wie kommt ihr auf die Ergebnisse bei c (5 und 2) :confused:
Seid ihr sicher, dass die entgültige Lösung vom 5.1 gleich 9/8*2/3^x ist ???
Bin zwar nicht sicher aber wir sind wohl in unserer Übungsgruppe auf eine andere Lösung gekommen....

Kann mir jemand bitte wieterhelfen?!


Danke im voraus!

[thohai]

was ich noch nicht durchschaut hab:

wieso ist der unbedingte erwartungswert = 2 ?

wenn ich EX = Summe von 1-F(x) nehme

und F(X) mit (1/3)*(2/3)^x nehm ....

komm ich auf 3 als Ergebnis :confused:

[HomerJay]

Also eins kapier ich immer noch nicht (sorry)

Wenn ich in die endliche Reihe von 0 bis x-1 einsetze nach der Formel
Summe(0..n) q^i = q^(n+1) -1 / q-1 und das p mal nehme

sollte doch p * ( (1-p)^x - 1 / (1-p)-1 ) rauskommen , oder ?????

[kambo]

sollte doch p * ( (1-p)^x - 1 / (1-p)-1 ) rauskommen , oder ????? Genau!
Das kannst du aber weiter umformen:

p* [ (1-p)^x - 1]
--------------------- =
-p

(1 - p)^x - 1
----------------- = -(1 - p)^x + 1
-1

[HomerJay]

oh shame on me :-)
Aber nach 3 Stunden Statistik, hat das Power Management in meinem Hirn den Hibernate mode eingschaltet :-))

[mmp]

Hab eigenlich alles verstanden, nur wie komme ich dann auf die Erwartungswerte (unbedingt bzw. bedingt)??

Ich nehme mal an man muss in die Formel einsetzten die man (freiwillig) bewiesen hat.(6.1a)
EX=Summe(x=0, inf) [1-F(x)]

Das F(x) ist ja die Verteilungsfunktion von 5.1
5.1 hat als Wahrscheinlichkeitsfunktion: p(x)=(1/3)*(2/3)^x ....x=0,1,2,3,.....

Das F(x) dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet ja nun:
F(x)=1/3 * Summe(z=0,x) (2/3)^z --> F(x)=1/3*((2/3)^(x+1)-1)/((2/3)-1)=(2/3)^(x+1)-1

Um jetzt den Erwartungswert auszurechnen muss ich in die Formel einsetzen mit unserem eben berechneten F(x).
Wenn ich hier einsetze und umforme komme ich am Schluss auf Summe(x=0,inf) 2-(2/3)^(x+1) nund das konvergiert doch nicht gegen 2 oda?
Ist mein kompletter Ansatz falsch oder wie kommt ihr sonst auf die Erwartungswerte??

[Septic.exe]

Beim schnellen Überfliegen ist mir nur grad aufgefallen, dass Du das - 1 im Nenner von F(x) [bei Deinem Ergebnis], nachdem Du mit dem vorangestellen 1/3 kürzt, vergessen hast. Für F(x) sollte meiner Meinung nach 1 - (2/3)^x rauskommen!

Edit: Aber als Erwartungswert bekomm ich (unbedingt!) 3 raus ....

[mmp]

Beim schnellen Überfliegen ist mir nur grad aufgefallen, dass Du das - 1 im Nenner von F(x) [bei Deinem Ergebnis], nachdem Du mit dem vorangestellen 1/3 kürzt, vergessen hast. Für F(x) sollte meiner Meinung nach 1 - (2/3)^x rauskommen!

Stimmt hab ich vergessen. Jetzt hab ich es.
F(x)=1-(2/3)^(x+1)

EX=Summe(x=0,inf) [1-F(x)]=Summe(x=0,inf) 1-(1-(2/3)^(x+1))
=Summe(x=0,inf) (2/3)^(x+1) =Summe(x=0,inf) (2/3)^x *(2/3) =
2/3 * Summe(x=0,inf) (2/3)^x //Summe wird nach Formel aufgelöst
=2/3*3=2

[mmp]

Sodala, irgendwie schaff ich es nicht den Erwartungswert fürs bedingte auszurechnen. Hoffe es kann mir wer helfen.

Die Wahrscheinliochkeitsfunktion ist ja (9/8)*(2/3)^x
Wie man auf F(x) kommt ist äquivalent zum unbedingten Bsp.
F(x)=9/8*(-3)*((2/3)^(x+1)-1)

Nur wenn ich das ganze jetzt genauso umform komm ich am Schluss auf die Summe(x=0,inf) -19/8 +(9/4)*(2/3)^x und dass konvergiert mir gegen -2.37....
und das kanns ja nicht sein.

Kann mir irgendwer bitte erklären wie man auf den unbedingten Erwartungswert kommt??

[Septic.exe]

Also ich hab's jetzt mehrfach ausgerechnet und für F(x) [unbedingt] kommt bei mir 1 - (2/3)^x und nicht 1 - (2/3)^x+1 raus (analog zum Beispiel 2 b)).

[privato]

Sodala, irgendwie schaff ich es nicht den Erwartungswert fürs bedingte auszurechnen. Hoffe es kann mir wer helfen.

Die Wahrscheinliochkeitsfunktion ist ja (9/8)*(2/3)^x
Wie man auf F(x) kommt ist äquivalent zum unbedingten Bsp.
F(x)=9/8*(-3)*((2/3)^(x+1)-1)

Nur wenn ich das ganze jetzt genauso umform komm ich am Schluss auf die Summe(x=0,inf) -19/8 +(9/4)*(2/3)^x und dass konvergiert mir gegen -2.37....
und das kanns ja nicht sein.

Kann mir irgendwer bitte erklären wie man auf den unbedingten Erwartungswert kommt??
also ich schreib mal auf, wie es ich berechnet habe.
p(x) = 9/8*(2/3)^x, x=3,4,5,...
F(x), falls x >= 3 =
= 9/8 * Summe(z=3, x) [(2/3)^z] = ...geometrische Reihe ... =
= 9/8 * [(2/3)^(x+1) - (2/3)^3 ] / (2/3 -1) =...-1/3 aus dem Nenner... =
= -27/8 * [(2/3)^(x+1) - (2/3)^3] = ...-(2/3)^3 herausheben
= -27/8 * -(2/3)^3 * [1 - (2/3)^(x-2)] =
= -27/8 * -8/27 * [1-(2/3)^(x-2)] =
= 1 - (2/3)^(x-2)
für x >= 3, sonst ist F(x) = 0
Summe(x=0,unendlich) [1 - F(x)] = ...F(0)=F(1)=F(2)= 0... =
1+1+1 + Summe(x=3,unendlich) [1 - (1-(2/3)^(x-2))] =
3 + Summe(x=3,unendlich) [(2/3)^(x-2)] = ...(2/3)^-2 vorziehen...
3 + (3/2)²* Summe(x=3,unendlich) [(2/3)^x] = *

Summe(x=3,unendlich) [(2/3)^x]=
Summe(x=0,unendlich) [(2/3)^x] - 1 - 2/3 - 4/9 (2/3^0..^1...^2)=
1/1/3 - 19/9 = 8/9

* = 3 + (3/2)²*8/9 = 3 + 9/4*8/9 = 5

[mmp]

Big THX hab mich da mit der geometrischen Formel verhaut.
Jetzt passts und ich bekomm auch 5 raus*g*.

[anki]

Hm, könnte mir jemand erklären, wie man von dieser Summenform

= 9/8 * Summe(z=3, x) [(2/3)^z] = ...geometrische Reihe ... =

auf den Term

= 9/8 * [(2/3)^(x+1) - (2/3)^3 ] / (2/3 -1) =...-1/3 aus dem Nenner... =

kommt?
Danke!

[kambo]

Hm, könnte mir jemand erklären, wie man von dieser Summenform [.....]auf den Term [......] kommt?
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

[Superwinki]

Hm, könnte mir jemand erklären, wie man von dieser Summenform *** auf den Term *** kommt?Wenn dir wir mir die Mathe Prüfungen noch fehlen musst du im Internet nach der Formel suchen, mit der man endliche geometrische Reihen auflöst...


EDIT. Skandal, da war doch grad wer schneller...

[anki]

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Danke, kambo, für die rasche & konstruktive Antwort.

[THE_ONE]

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[ein_stein2000]

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VIELEN DANK mein retter :) ... und ich hab eigentlich keinen fehler entdeckt