Bsp 53

[Ubik]

Mein D ist

/ 1 -sqrt(lamba) \
\ cos(sqrt(lambda)) sin(sqrt(lambda)) /

Für det D = 0 erhalte ich tan(sqrt(lambda)) = -sqrt(lambda).

Was ist nun die Lösung für lambda? Maple sagt sowas wie
RootOf(tan(_Z)+RootOf(_Z^2))^2 ?????????

[dose]

Krieg eigentlich dasselbe...entweder denken wir beide genau gleich falsch oder die Eigenwertprobleme stinken einfach aus Prinzip ;)
Wie auch immer, die Triviallösung is wiedermal lambda = 0, die weiteren Lösungen kann man sich wundervoll graphisch anschauen (siehe Attachment), und so gehts halt dahin...aber sinnvolle Lösungen seh ich weder auf Anhieb noch kann ich welche aus Maple rauskitzeln...

[Ubik]

OK, der rote Graph ist tan(sqrt(la)) + sqrt(la). Was ist das grüne?

[dose]

Nein, der rote Graph ist tan(sqrt(lambda)), der grüne is -sqrt(lambda)...man könnte auch sqrt(lambda) durch x ersetzen, dann kriegt man auch das, was Maple vorschlägt, nämlich tan(x) = -x ... und das ganze halt zum Quadrat dann, wenn man rücksubstituiert. Dann schaut zwar der tan() gleichmäßiger aus, das hilft aber nix, weil die Schnittpunkte trotzdem irgendwie keinem explizit nach x auflösbaren System folgen...

Ich bin zwar draufgekommen, wie man sich mit Maple zumindest die einzelnen Lösungen anschauen kann, aber das bringt auch irgendwie nix, um auf ein allgemeines Lambda zu kommen...
evalf(RootOf(tan(_Z)+_Z,_Z,2));
Wobei der 2er eine ungefähre Näherung für den Schnittpunkt angibt, den man aus dem Graphen ablesen kann (weitere sind 4.9, 8, ...)...aber das kanns auch irgendwie nicht so ganz sein.

[Vallian]

habe ich das Richtig verstanden
Ist der Ansatz für y=cos(x*sqrt(lamda))*C1+sin(x*sqrt(lamda))*C2

[Jokus]

ich kapiers auch nicht ganz...meine Lösung der Char. Gleichung ist lambda1 = -sqrt(-lambda) und lambda2 = sqrt(-lambda), zumindest behauptet Derive das... aber was soll das sein? Ich würde auf Komplex tippen, oder?

[dose]

Man macht den Exponentialansatz y = exp(alpha*x), dann rechnet man sich über das charakteristische Polynom alpha^2 + lambda = 0 das alpha = +/- i*sqrt(lambda) aus...man bekommt exp(+/- i*sqrt(lambda)*x) und das wiederum kann man in Cosinus und Sinus splitten (Komplexifizierung blablabla) und bekommt damit als Lösungsbasis y = c_1*cos(sqrt(lambda)*x) + c_2*sin(-sqrt(lambda)*x)

[Jokus]

ah. danke!

[Jokus]

...Lösungsbasis y = c_1*cos(sqrt(lambda)*x) + c_2*sin(-sqrt(lambda)*x)
Wenn ich mit dem weiterrechne, bekomm ich aber ein anderes D als du:

phi(x):= /cos(sqrt(lambda)x) sin(-sqrt(lambda)x) \
\-sqrt(lambda)*sin(sqrt(lambda)*x) -sqrt(lambda)*cos(sqrt(lambda)x)/

und nachdem r = [1,-1;0,0] und s = [0,0;1,0] sollte für

D=/1 sqrt(lambda) \
\cos(sqrt(lambda)) -sin(sqrt(lambda))/ rauskommen, oder?

das Problem: für die det(D) kommt dann auch nix gescheiteres raus, außer der Triviallösung lambda=0 halt...

trotzdem: hab ich wo einen Fehler gemacht, oder warum sieht das bei mir anders aus? (vor allem das umgekehrte VZ in der 2. Spalte wundert mich...)

[dose]

Hoppla, ich hab mich oben vertippt, beim c_2*sin() gehört kein Minus innen...sorry :/

Aber für das Beispiel isses e relativ wurscht, weil bei der Gleichung tan(sqrt(lambda)) + sqrt(lambda) = 0 is Schluß...es gibt zwar noch weitere Lösungen außer lambda = 0, aber niemand hatte bisher eine Idee, wie man die explizit ausdrücken kann...