Bsp 52

[Ubik]

Für det D = 0 habe ich hier
exp(-2*lambda) + exp(2*lambda) - 2 = 0

Demnach kann lambda nur 0 sein. Und es gibt nur die triviale Lösung y = 0.
Kann das sein?

[dose]

Also im Prinzip würd ich dem zustimmen...

Ich krieg für det D = 0 folgendes (ich vermut das 2*lambda hast Du einfach weggelassen, weil man da sowieso sofort auf lambda = 0 kommt):
2*lambda*(exp(2*lambda) + exp(-2*lambda) - 2) = 0
Für die Klammer gibts ebenfalls die Lösung lambda = 0.
Soweit, sogut, nur gibts ne komplexe (anscheinend sogar Doppel-)Lösung auch noch: lambda = -i*pi ... die wiederum findet mein Maple aber nur aus der ganzen Gleichung, nicht aus dem Klammerausdruck allein *Angst*
(exp(2*-i*pi) + exp(-2*-i*pi) löst sich dann zu 2*cos(2*pi) = 2 auf...)

[edit]: Scheint anscheinend e wurscht zu sein, denn wenn man das lambda an die Randbedingungen anpaßt, kommt sowieso c_1 = c_2 = 0 raus...sieht also ganz so aus als ob das Teil wirklich nur die Triviallösung hat.

[Ubik]

Ist ja fast schon pervers, zu welchen Zeiten du dich der Mathematik widmest...

Das 2*lambda kommt bei mir übrigens gar nicht vor. Aber wie auch immer - offensichtlich gibt es nur die Lösung y(x) = 0.

[dose]

;)

Das 2*lambda kommt bei mir durch die innere Ableitung vom e^(lambda*x) bzw. e^(-lambda*x) zustande, aber es spielt wirklich keine Rolle...

[dose]

Hm, ich hab das jetzt noch einige Male durchgespielt...ich bekomm jetzt:

allg. Lsg.: y = c_1*exp(lambda*x) + c_2*exp(-lambda*x)

lambda = i*k*pi (k ganzzahlig)
(wegen exp(lambda) = exp(-lambda), Subst.: lambda := i*z
=> exp(i*z) = exp(-i*z) => cos(z) + i*sin(z) = cos(z) - i*sin(z) => sin(z) = -sin(z) => z = k*pi)

Und dann schließlich: c_1 = beliebig, c_2 = beliebig

[morgan]

ich check nicht ganz wie ich mit den periodischen randbedingungen umgehen soll. bei der berechnung der determinante von meinem D kürzt sich immer alles weg. wie schaut denn euer R und S aus?

[dose]

Form die Randbedingungen um auf z.B. y(-1) - y(1) = 0 und y'(-1) - y'(1) = 0, dann kannst R und S "einfacher" bestimmen...R und S sehen z.B. so aus:
R = ((1,0),(0,1)), S = ((-1,0),(0,-1))

[Matthias]

Hm, ich hab das jetzt noch einige Male durchgespielt...ich bekomm jetzt:

allg. Lsg.: y = c_1*exp(lambda*x) + c_2*exp(-lambda*x)

lambda = i*k*pi (k ganzzahlig)
(wegen exp(lambda) = exp(-lambda), Subst.: lambda := i*z
=> exp(i*z) = exp(-i*z) => cos(z) + i*sin(z) = cos(z) - i*sin(z) => sin(z) = -sin(z) => z = k*pi)

Und dann schließlich: c_1 = beliebig, c_2 = beliebig

ich komme auf das alte ergebnis von dir (lambda = 0), da ich auch nicht auf exp(lambda) = exp(-lambda) komme, sondern auf:
2*lambda*(exp(2*lambda) + exp(-2*lambda) - 2) = 0

[Vallian]

Ich habe leider den ersten Teil der Vorlesung verpasst und ein Mathegenie bin auch gerade nicht. Kann mir jemand sagen wie man Vorgehen muss um so ein Eigenwertproblem zu lösen. ?

[dose]

ich komme auf das alte ergebnis von dir (lambda = 0), da ich auch nicht auf exp(lambda) = exp(-lambda) komme, sondern auf:
2*lambda*(exp(2*lambda) + exp(-2*lambda) - 2) = 0
Naja, das is im wesentlichen dasselbe, und die Gleichung auf das Notwendigste reduziert ;)
(exp(2*lambda) + exp(-2*lambda) - 2) = (exp(lambda) - exp(-lambda))^2 = 0
=> exp(lambda) = exp(-lambda)
Aus der Gleichung kriegt man auch alle Lösungen raus, wobei die Lösungen mit i möglicherweise e komplett überflüssig sind und außer Hirnweh nix bringen...

[dose]

Ich habe leider den ersten Teil der Vorlesung verpasst und ein Mathegenie bin auch gerade nicht. Kann mir jemand sagen wie man Vorgehen muss um so ein Eigenwertproblem zu lösen. ?
Generell:
1. Wie gewohnt DGL allgemein lösen, R, S aufstellen und D ausrechnen
2. det D = 0 setzen => man bekommt eine Gleichung um das lambda (= Eigenwert) auszurechnen (mit diversen Tricks dann versuchen irgendwie Periodizität u.ä. auszudrücken)
3. lambda in D einsetzen und das Gleichungssystem D*c = 0 lösen (c...Spaltenvektor mit c_1, c_2, ..., c_n, 0...Nullvektor) => man bekommt die Konstanten (irgendwo sollt dann auch wo was wegfallen)
4. Konstanten und lambda einsetzen in allgemeine Lösung der DGL => man bekommt die Eigenfunktion

(alternativ kann man auch das Matrizenspielchen umgehen und einfach gleich in die Randbedingungen einsetzen und sich so halt die Parameter ausrechnen)

[Ubik]

Und dann schließlich: c_1 = beliebig, c_2 = beliebig
Auch mit deiner Methode komme ich auf
c_1 = c_2 und c_1 + c_2 = 0 -> c_1 = c_2 = 0 (nicht beliebig)

[dose]

Auch mit deiner Methode komme ich auf
c_1 = c_2 und c_1 + c_2 = 0 -> c_1 = c_2 = 0 (nicht beliebig)
Hm, also bei mir...

y = c_1*exp(lambda*x) + c_2*exp(-lambda*x)
y' = c_1*lambda*exp(lambda*x) - c_2*lambda*exp(-lambda*x)

lambda = 0: y = c_1*1 + c_2*1, y' = c_1*0*1 - c_2*0*1

in RB einsetzen:
y(1) = y(-1) => c_1 + c_2 = c_1 + c_2
y'(1) = y'(-1) => 0 - 0 = 0 - 0
=> c_1, c_2 beliebig

Wobei, sobald lambda = 0 is, is e alles wurscht...dann hat ma unter anderem wieder die Lösung y = Ax+B mit A=0, B=0 bei der Eigenfunktion...und ähnlich scheint das auch bei +/- i*k*pi zu sein.

[Matthias]

hm, die ableitungen hab ich auch so. damit rechnest du dir ja dann das D aus und mit det D = 0 setzen kommt man auf lambda = 0. und laut buch, gibt's bei lambda = 0 nur die triviallösung y(x) = 0 und sonst nichts.
zum RB einsetzen komm ich da ja gar nicht.