bSPL 27

[arnobel]

Hi !

Also :

Xn = Xn(H) + Xn(P)

Xn(H) = c* Produkt(i=0 _> n-1 ) 3^(2i)
Xn(H) = c * 3^(i^2 + i)

Xn(P): Xo = 1: c * 3^(1^2 +1) = 1 -> c= 1/9

Xn = Xn(H) + Xn(p) = C*3^(i^2 + i ) + 1/9*3^(i^2+i)

Hoffe es passt , nachrechnen stimmt.

[supporter]

Wie kommt man auf x0=1 ?

[Murmel]

Hmmm ich versteh leider absolut nichts von dem Beispiel. Wär vielleicht jemand so nett und könnte das Schritt für Schritt erklären?

lG,
Murmel

EDIT: Und wieso Xn(H) = c * 3^(i^2 + i)? Sollte es nicht Xn(H) = c * 3^(i^2 - i) sein? (mein Taschenrechner spuckt zumindest sowas ähnliches aus)

[InspectorGadjet]

wie kommt ihr auf xn(h) = c * 3^(i^2 + i)

das produkt ist doch c*(3^2*0)*(3^2*1)*(3^2*2)*... => c * 3^2*(n-1)!

[Studigel]

Ich hab xn(h) = 3^(n²-n).

Begründung:

c* 3^(2*0)*3^(2*1) etc
wenn man n jetz = 3 setzt kriegt man c*1*3^2*3^4 = c*1*3^6
für n=4 kriegt man c*3^12 für n=5 c*3^20 also immer c*3^(n²-n)
Wenn man lustig ist kann mans ja noch für alle n mit vollst. Ind. beweisen.

[Fugu]

Ich hab xn(h) = 3^(n²-n).

Begründung:

c* 3^(2*0)*3^(2*1) etc
wenn man n jetz = 3 setzt kriegt man c*1*3^2*3^4 = c*1*3^6
für n=4 kriegt man c*3^12 für n=5 c*3^20 also immer c*3^(n²-n)
Wenn man lustig ist kann mans ja noch für alle n mit vollst. Ind. beweisen.:tongue1: Xn(h) habe ich dasselbe.
homogene Gleichung: Xn+1 = (9^n)*Xn
Xn(h)=c * 9^0 * 9^1 * 9^2 ...*9^(n-1) = c*9^[(n²-n)/2] =c* 3^(n²-n).

noch offene Frage: (S.23)
was versteht man unter ein Gleichgewicht X*
wie weiss man eigentlich, ob ein X* existiert?

[Murmel]

Xn+1 = (9^n)*Xn
Hehe nicht schlecht, das Quadrat aus dem 2n auf den 3er anwenden, daran denkt man normalerweise gar nicht, das muss ich mir merken...

Bei dem Gleichgewicht steh ich selber schon seit einiger Zeit an :confused:

lG,
Murmel

[InspectorGadjet]

stimmt, da hab ich mich ja total vertan... *grml*

aber irgendwie kapier ich das ganze verfahren sowieso noch nicht... naja, wird schon noch werden...

[Studigel]

Naja Gleichgewicht heisst ja dass sich die Folge, Reihe, Produkt was auch immer nicht mehr verändert wenn der Index wächst (glaub ich).

Also man macht sich auf die suche nach einem x[n] sodass x[n] = x[n+1] = ....
ist. Das heisst die Veränderung die durch die Indexerhöhung entsteht muss 0 sein.

In dem Beispiel müsste man ein x[n] finden, welches immer eine andere Veränderung aufhebt und das kann nicht funktionieren, weil x[n] ja eine Zahl in R ist. Ich wage mal zu behaupten, schlagt mich nicht, dass Gleichgewichte nur bei Gleichungen existieren in denen das n nur als Index vorkommt.

Möglich dass alles Blödsinn ist, aber so hab ich mir das erklärt.

EDIT
Ich versteh jetz warum im Skriptum steht die Lösung ist manchmal umständlich...

für xn(p) c[n]*3^(n²-n)

für c[n+1] = 3^2n*c[n]*3^(n²-n)+3n² krieg ich dann
c[n+1] = c[n] + 3n²/(3n²+n)

Stimmt das?
Jetz muss man diese Differenzengleichung auch noch lösen :(

[pHagi]

Also ich hab folgendes herausbekommen:

x[n]= c*9^(n!) + { [3^(n^2)] / (1-9^n) }

hat das noch wer so?

für das gelichgewicht hab ich einfach folgendes gerechnet:

x = x*3^(2*n) + 3^(n^2)
x-x*3^(2*n) = 3^(n^2)
x = [ 3^(n^2)] / (1-9^n)

[Studigel]

Das kann kein Gleichgewicht sein oder?

Ich mein der Ausdruck ist immer noch von n abhängig --> x0 != x1 != x2 --> kein Gleichgewicht

[arnobel]

Hi !

Also :

Xn = Xn(H) + Xn(P)

Xn(H) = c* Produkt(i=0 _> n-1 ) 3^(2i)
Xn(H) = c * 3^(i^2 + i)

Xn(P): Xo = 1: c * 3^(1^2 +1) = 1 -> c= 1/9

Xn = Xn(H) + Xn(p) = C*3^(i^2 + i ) + 1/9*3^(i^2+i)

Hoffe es passt , nachrechnen stimmt.

Also : man kriegt als Produkt 3^0*3^2*3^4*3^6*3^10
Wenn man jetzt eine allgemeine Formel dafür will funktioniert das mit
( ab Produkt rechnet man mit i , da i=0 bis n-1 in der Homogenen Lsg. steht)

D.h. an jeder

[arnobel]

Hi !

Also :

Xn = Xn(H) + Xn(P)

Xn(H) = c* Produkt(i=0 _> n-1 ) 3^(2i)
Xn(H) = c * 3^(i^2 + i)

Xn(P): Xo = 1: c * 3^(1^2 +1) = 1 -> c= 1/9

Xn = Xn(H) + Xn(p) = C*3^(i^2 + i ) + 1/9*3^(i^2+i)

Hoffe es passt , nachrechnen stimmt.

Also : man kriegt als Produkt 3^0*3^2*3^4*3^6*3^10 .....
Wenn man jetzt eine allgemeine Formel dafür will funktioniert das mit
( ab Produkt rechnet man mit i , da i=0 bis n-1 in der Homogenen Lsg. steht)

D.h. an jeder Stelle z.b. i bis 3 bekommt man 1*3^2*3^4*3^6, das
ist 3^(0+2+4) * 3^6.
Mit 3^(i^2+i) bekommt man immer die richtigen Summen:
1*3^(2*1)*3^(2*2)*3^(2*3) = 531441
3^(3^2+3) = 531441

also ist c*3^(i^2+i) die homogene Lsg

mit Xo = 0 würde ein C= 0 rauskommen und die Partikuläre Lsg wäre 0.

mit Xo = 1 kommt z.b. folgendes raus:
c*3(1^2+1) = 1 => c*9=1 => c=1/9

Diese (mögliche , da wir irgendeine partikuläre Lsg brauchen) partikuläre
Lsg ist dann :
1/9*3^(i^2+i)

Die allgemeine Lsg ist dann :
Xn = Xn(H) + Xn(P)

also Xn = 3^(i^2+i) + 1/9 * 3^(i^2+i)

[Murmel]

Xn(H) = c* Produkt(i=0 _> n-1 ) 3^(2i)

Also : man kriegt als Produkt 3^0*3^2*3^4*3^6*3^10 Sollte es nicht eher 3^0*3^2*3^4*3^6*3^8 sein?
Hmmm aber sonst könnte die + Formel stimmen...

lG,
Murmel

[konsch]

Die Lösung des homogenen Parts ist doch

c*3^( 2(n-1) )!

xn(h) = 3^(2*0) * 3^(2*1) * 3^(2*2) * 3^(2*3) * ... * 3^(2*(n-1))


oder ned? :confused:

[Mr. Zet]

ziehe den 2er aus der potenz herunter, dann hast du

c*90 * c*91 * ... * c*9n-1

sprich interessant ist die Summe1<= i <= n(i-1) und das ist eben (i²-i)/2
oder 1/2 * (i²-i)

also c*91/2 * (i²-i) und wenn wir das 1/2 herunternehmen, sprich die wurzel ziehen wird daraus c*3i²-i

da wir aber mit "n" rechnen, nehme ich statt i dann weiters wieder n.

Ich habs dann weiter nach dem Ansatz der Variation der Konstanten probiert, und bekomme dann heraus für
cn+1 = cn + 1/3n
bzw.
cn = 3/2 * (1 - 1/3n) (Begründung siehe Skriptum Seite 23, bin bei Folgen und Reihen nicht so sattelfest ;))

und da xn = xn(h) + xn(p)

bekomme ich dann
xn = (c + 3/2*(1 - 1/3n) ) * 3n²-n

was leider kein "schönes" ergebnis ist, und ich daher vermute, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe :confused:

[Mr. Zet]

EDIT
Ich versteh jetz warum im Skriptum steht die Lösung ist manchmal umständlich...

für xn(p) c[n]*3^(n²-n)

für c[n+1] = 3^2n*c[n]*3^(n²-n)+3n² krieg ich dann
c[n+1] = c[n] + 3n²/(3n²+n)

Stimmt das?
Jetz muss man diese Differenzengleichung auch noch lösen :( sorry, das habe ich überlesen vorher, aber das ist natürlich das gleiche, was ich habe, denn ich nehme mal an, dass du 3n²/3n²+n meinst und wenn du das kürzt, bleibt 1/3n über :)

aber wie gesagt, wenn ich diese Differenzengleichung dann löse und weiter mach, kommt mir halt was ziemlich konfuses heraus... :(

[Studigel]

c*3^(i^2+i) und c*3^(n^2-n) ist das selbe weil i ja bis n-1 läuft.

Aber dass man irgendeine partikuläre Lösung nehmen kann glaub ich nicht.

@Mr.Zet
Hast recht natürlich muss das +n im Exponenten stehen. Also ist

c[n+1]=c[n] + 3n²/(3^(n²+n))

[arnobel]

c*3^(i^2+i) und c*3^(n^2-n) ist das selbe weil i ja bis n-1 läuft.

Aber dass man irgendeine partikuläre Lösung nehmen kann glaub ich nicht.

@Mr.Zet
Hast recht natürlich muss das +n im Exponenten stehen. Also ist

c[n+1]=c[n] + 3n²/(3^(n²+n))

Habts recht ...

Mit Variation der Konstanten ist der richtige Weg...

[Murmel]

für c[n+1] = 3^2n*c[n]*3^(n²-n)+3n² krieg ich dann
c[n+1] = c[n] + 3n²/(3^(n²+n))
Ich versteh den Übergang vom einen aufs andere nicht ganz. Schaut irgendwie so aus, als hättet ihr die rechte Seite der Gleichung einfach durch 3^(n²+n) dividiert? Wieso bleibt die linke Seite dann gleich? Ich steh da irgendwie auf der Leitung glaub ich...

lG,
Murmel

[Studigel]

Das ist auch keine Umformung ;)

Du setzt das c[n+1] in die Formel für xn(p) ein. Also steht dann:

c[n+1] * 3^((n+1)²-(n+1)) = 3^(2n) * c[n] * 3^(n²-n) + 3^n²

Wenn du dann durch 3^((n+1)²-(n+1)) dividierst und umformst kriegst du

c[n+1] = c[n] + 3n²/(3^(n²+n))

[Murmel]

thx für den Versuch aber so ganz hab ichs immer noch nicht. Die Xn[p] Formel in die wir einsetzen ist doch eigentlich dieselbe wie die Xn[h] Formel vom Anfang oder(also c mal dem Produkt von 3^2i von 0 bis n-1)? Nur wieso kommt diesmal 3^((n+1)²-(n+1)) raus?

Sorry für die vielen Fragen, bei den Bspen diese Woche tu ich mir irgendwie schwer...

lG,
Murmel

[Mr. Zet]

skriptum seite 23 unten:
da wird das angenommene xn(p) eingesetzt

links steht in der formel aber xn+1, wenn wir hier das xn(p) einsetzen, welches
cn3n²-n
ist, dann müssen wir auch hier das n um eins erhöhen -> cn+13(n+1)²-(n+1)

[Mr. Zet]

Ich habs dann weiter nach dem Ansatz der Variation der Konstanten probiert, und bekomme dann heraus für
cn+1 = cn + 1/3n
bzw.
cn = 3/2 * (1 - 1/3n) (Begründung siehe Skriptum Seite 23, bin bei Folgen und Reihen nicht so sattelfest ;))

und da xn = xn(h) + xn(p)

bekomme ich dann
xn = (c + 3/2*(1 - 1/3n) ) * 3n²-n

was leider kein "schönes" ergebnis ist, und ich daher vermute, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe :confused: Komme gerade aus der Übung bei Prof. Karigl, die Lösung stimmt! :)

[Cassandra]

cn = 3/2 * (1 - 1/3n)
Ich versteh leider nicht ganz, wie du auf das kommst.

Zuerst hab ich:
c(n) = c(0) + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n
dann wuerde ich wie im Skriptum c(0) = 0 setzen, 1/3 herausheben, dann hab ich
c(n) = 1/3 * (1+ 1/3 + .... + 1/3^(n-1))
das in der Klammer ist dann meine geometrische Reihe und durch Einsetzen in die Formel wuerde ich auf folgendes Ergebnis kommen:
c(n) = 1/2 * (1-1/3^n)

Kannst du vielleicht kurz erklaeren, ob du auch herausgehoben hast, und wie du dann auf 2/3 * (1-1/3^n) kommst?
muss man ueberhaupt herausheben?
oder koennte ich einfach c(0) = 1 setzen?

danke im Voraus

[paikuhan]

da hab ich mich auch vertan...
mein fehler war, dass ich ignoriert hab, dass ja auf der linken seite cn+1 und nicht cn steht.

also mit c0 = 0 haben wir:
c0 = 0
c1 = 0 + 1/3^0 = 0 + 1/1 = 1
c2 = 0 + 1 + 1/3
c3 = 0 + 1 + 1/3 + 1/9
...
cn+1 = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n
cn = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^(n-1)

womit dann eben richtigerweise die geometrische reihe rauskommt, die auch Mr. Zet hat

mfg
paiku

[Cassandra]

also mit c0 = 0 haben wir:
c0 = 0
c1 = 0 + 1/3^0 = 0 + 1/1 = 1
c2 = 0 + 1 + 1/3
c3 = 0 + 1 + 1/3 + 1/9
...
cn+1 = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n
cn = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^(n-1)


*phong* O.k. danke, das macht alles gleich wesentlich mehr Sinn

[ein_stein2000]

habs dank euch auch so, wäre glaub ich NIE drauf gekommen kurz mal das 3^2n teilweise auszuquadriern um dann die arithmetische reihe anzuwenden ...

also hier meine zusammenfassung:
http://einstein2000.oldsch00l.com/uni/mathe2_ubung/Mathe2_Beispiel27.pdf

[Murmel]

Wow mir ist bezüglich dieses Beispiels gerade nicht nur ein Licht, sondern eine ganze Glühbirnenfabrik aufgegangen :thumb: danke euch allen!

lG,
Murmel

[McKlinge]

wow, muss mich da murmel anschließen.

Ein Fehler ist aber glaub ich in deinem pdf noch enthalten:
Beim Einsetzen in den Ansatz der Koeff.-Var. muss man doch C[n] einsetzen und nicht c[n+1] und c[n] ist 3/2*(1-1/3^(n-1))
Also was ich mein: das -1 fehlt im Exponenten

...oder hab ich da wieder was falsch verstanden?

[disti]

ist da nicht noch ein fehler drinnen beim berechnen des exponenten von 9

die summe von 0...n = n*(n-1)/2
aber die summe von 0...(n-1) müsste dann doch (n-1)(n-2)/2 sein oder nicht

[disti]

da hab ich mich geirrt,

stimmt doch