6.5

[b_UT]

Kling mir etwas zu einfach, aber auf der Seite 64 oben steht:

"Der Erwartungswert EX einer normalverteilten stochastischen Größe ist gleich dem Teilparameter u (my)"

In unsrem Fall also EX = 0.

Hab zur Überprüfung noch das ganze Integral von -unendlich bis +unendlich von x mal f(.) ins Mathematica reingeklopft und siehe da.
Ergebnis = 0

Sozusagen würde das Ergebnis in der Angabe stehen :thumb:

[Septic.exe]

Ich komm' auch auf das selbe Ergebnis.

[privato]

Hm also man soll ja den Erwartungswert von |X| ausrechnen, dh g(x) := |X|;
E[g(x)] = Integral (-unendlich,unendlich) von g(x)*f(x)dx =
=Integral(-u,u) von |x|*1/sqrt(2*Pi)*exp(-x^2/2)
wie man das jetzt wirklich berechnen kann, weiß ich nicht, vermutlich gibts da wohl einen Trick; Maple gibt mir dafür jedenfalls sqrt(2)/sqrt(Pi) aus.

[orpheus]

bei mir kommt Wurzel(2/PI) raus

Lösungsweg: Um E(|X|) berechnen zu können, bildet man E(-X) für die Intervallgrenzen -oo bis 0 und E(X) für 0 bis oo.

[Pilrich]

Ich würde es viel einfach begründen und zwar: Da durch den Betrag von X alle negativen x Werte "zu positiven x Werte" werden - integriere ich von 0 bis oo und nehme das Ergebnis mal 2.
--> Wurzel(2/PI)

Ist das ausreichend "richtig" *g* begründet?

[gst]

Ich würde es viel einfach begründen und zwar: Da durch den Betrag von X alle negativen x Werte "zu positiven x Werte" werden - integriere ich von 0 bis oo und nehme das Ergebnis mal 2.
--> Wurzel(2/PI)

Ist das ausreichend "richtig" *g* begründet? yop - da die verteilung symetrisch ist sollte das IMO ausreichen.

allerdings haenge ich noch irgendwie beim aufloesen vom integral. wenn ich sqrt(2/PI) rausziehe bleibt mir ja noch immer ein x*exp(-x²/2) ueber (welches integriert zu -exp(-x²/2) wird). wie hast du das wegbekommen?

[Pilrich]

Einfach ins Mathematica eingegeben *g*
Schaus mir nun mal händisch an...

[Septic.exe]

Ähm ... wegen dem "Herumgerechne". Was stimmt an der Lösung im ersten post nicht?

[Pilrich]

Ähm ... wegen dem "Herumgerechne". Was stimmt an der Lösung im ersten post nicht?
Glaube dass das Ergebnis im ersten Post für die Standardnormalverteilung gilt, aber nicht mit der zusätzlichen Einschränkung dass der Erwartungswert von |X| berechnet werden soll und nicht von X

[Septic.exe]

In der Angabe zum Bsp 5 steht doch "standardnormalverteilte" ... und die Standardnormalverteilung ist doch symmetrisch, deswegen |X| ... oder täusch' ich mich da?

[Pilrich]

Ok ich will es mal so versuchen:

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung lautet:
f(x) = 1/Wurzel(2 Pi) * e^(x^2/2))

X ~ N(0,1)
E(X) = Integral ( -oo bis oo) x * f(x)

Da wir nun aber die stochastische Größe X "einschränken" auf |X| bedeutet das, dass es egal ist ob wir x oder -x einsetzen --> der linke Teil der Dichtefunkion fällt weg und der rechte "verdoppelt" sich --> Also bilde ich nur das Integral von 0 bis oo und multipliziere es mit 2 (siehe frühere Post)

[fuxi17]

yop - da die verteilung symetrisch ist sollte das IMO ausreichen.

allerdings haenge ich noch irgendwie beim aufloesen vom integral. wenn ich sqrt(2/PI) rausziehe bleibt mir ja noch immer ein x*exp(-x²/2) ueber (welches integriert zu -exp(-x²/2) wird). wie hast du das wegbekommen?

Integral von x*exp(-x²/2) von 0 bis oo ist 1 (Frag mich nicht wieso genau das so ist aber es ist so).
Deshalb bleibt nur noch 2/sqrt(2PI) über und das ist 0,7978.

[Rumpl]

Ich versuch mich mal an dem Integral, bitte korrigeren was falsch ist:

(Ich lass mal den konstanten Faktor mit der Wurzel und PI weg)

Integral von (x*exp(-x²/2)dx)

Substitution: z = (-x²/2), z' = -x, dz = -x dz

--> Integral von (-exp(z)dz) = -exp(z) = -exp(-x²/2)

Grenzen sind 0 und oo:

uneigentliche Integral:

lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2)) mit den Grenzen 0 und c:

lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2) + (-exp(-0²/2))) =

lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2) + 1) =

1 + 0 = 1

mfg
Rumpl

[EDIT] eventuell gehört der limes schon vor der Berechnung des Integrals angeschrieben, aber ich glaub man weiss was gemeint ist
[2.EDIT] Fehler bei den Grenzen des Integrals

[Superwinki]

Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung lautet:
f(x) = 1/Wurzel(2 Pi) * e^(x^2/2))

Bevor es für Verwirrung sorgt: dort hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, richtig heißt es f(x) = 1/Wurzel(2 Pi) * e^-((x^2)/2)

[seg2]

Kling mir etwas zu einfach, aber auf der Seite 64 oben steht:

"Der Erwartungswert EX einer normalverteilten stochastischen Größe ist gleich dem Teilparameter u (my)"

In unsrem Fall also EX = 0.

Hab zur Überprüfung noch das ganze Integral von -unendlich bis +unendlich von x mal f(.) ins Mathematica reingeklopft und siehe da.
Ergebnis = 0

Sozusagen würde das Ergebnis in der Angabe stehen :thumb:
Es müsste ja auch 0 herauskommen, wenn man sich die Kurve der Dichte anschaut. Der Erwartungswert ist ja das Mittel der Verteilung.

Aber es stimmt, es müsste Sqrt[2/Pi] herauskommen, wenn man nur postive x mal 2 nimmt.

Ist aber irgendwie zu simpel - gibts da nen Haken??

[michi204]

(Ich lass mal den konstanten Faktor mit der Wurzel und PI weg)

Integral von (x*exp(-x²/2)dx)

Substitution: z = (-x²/2), z' = -x, dz = -x dz
--> Integral von (-exp(z)dz) = -exp(z) = -exp(-x²/2)
Grenzen sind 0 und oo:
uneigentliche Integral:
lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2)) mit den Grenzen 0 und oo:
lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2) + (-exp(-0²/2))) =
lim(c-->oo) von (-exp(-c²/2) + 1) =


wo hast du denn das x verschwinden lassen?

lg michi

[Rumpl]

wo hast du denn das x verschwinden lassen?

lg michi

Es müsste durch die Substitution verschwinden.

dz = -x * dx

vorher war es:
Integral von (x*exp(-x²/2)dx)

nun wird das (-x²/2) durch z ersetzt und das x verschwindet wegen dem x*dx. Ein Minus bleibt dabei noch und deshalb - exp(z)

Btw im Karigl Skriptum Seite 75 ist ein sehr ähnliches uneigentliche Integral.

[michi204]

Es müsste durch die Substitution verschwinden.

dz = -x * dx

vorher war es:
Integral von (x*exp(-x²/2)dx)

nun wird das (-x²/2) durch z ersetzt und das x verschwindet wegen dem x*dx. Ein Minus bleibt dabei noch und deshalb - exp(z)danke für die erklärung. ich hab es trotzdem erst kapiert, als ich es so aufgeschrieben habe:

,/' x · x^z * dx und dx = dz / -x

tja, leute wie ich sitzen oft den halben tag auf der leitung.. :)

lg michi

[daff]

Es muss doch bei diesem Beispiel darauf hinauslaufen, die negative Seite/Fläche der Verteilungsfunktion zu entfernen und rechts an die positive Fläche anzuhängen. Nur so kann man da überhaupt ein µ berechnen, mehr als das ist es ja nicht.

Und warum macht ihr euch alle so Gedanken wegen den Integralen? Hat man für sowas nicht Taschenrechner, Maple & Co?

[kambo]

Wie habt ihr das Integral gelöst?? Ich verstehe das irgendwie nicht! :confused: Könnte vielleicht jemand etwas genauer erklären?
Danke!

[Rumpl]

Gesucht ist das Integral (von 0 bis oo) von ((x / sqrt(2*PI) )* e^(-x^2/2) dx)

Vorziehen von: 1/sqrt(2*PI)
--> 1/sqrt(2*PI) * Integral (von 0 bis oo) von (x*e^(-x^2/2) dx)
Substitution von:
z = -x^2/2
z' = -x
dz = -x dx daher ist dx = dz/-x

einsetzen:

1/sqrt(2*PI) * Integral (von 0 bis oo) von (-e^z dz)
(statt -x^2/2 kommt ja z und das x fällt weg weil wir statt dx, dz/-x schreiben, damit bleibt nur noch das Minus übrig und e^z)

jetzt wird integriert:

1/sqrt(2*PI) * (-e^z) (mit den Grenzen 0 bis oo)
zücksubstituieren: (statt z wieder -x^2/2 einsetzen)
-->
1/sqrt(2*PI) * (-e^(-x^2/2)) (mit den Grenzen 0 bis oo)

unendlich kann man ja schwer einfach einsetzen jetzt geht man das an wie bei uneigentlichen Integralen (siehe u.a. Karigl Mathe Skriptum)

Das heisst wir schreiben statt oo einfach c und lassen den limes von c gegen unendlich gehen.
-->
lim (c-->oo) 1/sqrt(2*PI) * (-e^(-x^2/2)) (mit den Grenzen 0 und c)
(Hier hat sich also nur die Grenze geändert)

nun rechnen wir, also einsetzen:

lim (c-->oo) 1/sqrt(2*PI) * (-e^(-c^2/2)) - 1/sqrt(2*PI) * (-e^(-0^2/2))
1/sqrt(2*PI) wird herausgehoben:

lim (c-->oo) 1/sqrt(2*PI) * ((-e^(-c^2/2)) - (-e^(-0^2/2)))

-e^(-c^2/2) ist mit lim (c-->oo) 0 weil wenn man sich das anders anschreibt ja folgendes ist:

-1/(sqrt(e^(c^2))
und wenn da das c gegen unendlich geht wird der Nenner unendlich groß aber insgesamt ist er dann Null
--> 1/sqrt(2*PI) * (0 + 1)

Der einser kommt davon weil e^(0^2/2) eins ist.

Daher ergibt sich 1/sqrt(2*PI)

(Für das Beispiel muss man das Ganze noch mit 2 multiplizieren)