enemy2k
25-11-2004, 01:53
ich brauche hilfe bei der folgenden aufgabe. ich weiss nicht mal wo ich anfangen soll und wie. aber bis montag muss ich es abgeben.. kann mir jemand behilflich sein?
es ist das erste bsp:
http://www.math.tuwien.ac.at/~winfried/cnuebung/UE_Teil_I_Projekt_4.pdf
aufgabe:
Beispiel 1
(1a) Konstruieren Sie ein Beispiel das zeigt, dass die Kondition der Aufgabe extrem schlecht ist, d. h., dass derWert der Ableitung an der Stelle t sehr empfindlich auf kleine additive St¨orungen in der Datenfunktion y reagiert. Genauer gesagt: Betrachtet man den Wert der ersten Ableitung an der Stelle t der exakten Funktion y(t) 2 C1[a; b] und der gest¨orten Funktion ˜y(t) := y(t)+²(t), wobei k²(t)k1 als klein angenommen wird, so kann trotzdem j˜y0(t)¡y0(t)j beliebig groß werden.
Machen Sie eine Skizze, die die Problematik illustriert.
(1b) F¨ur beide der obigen N¨aherungsformeln leite man den Ausdruck f¨ur den Verfahrensfehler her, indem man entsprechende Glattheit (Differenzierbarkeit) von y voraussetze.
(1c) F¨ur beide Formeln gebe man eine m¨oglichst gute Absch¨atzung f¨ur den Rechenfehler an. Sie k¨onnen dabei die ” (1 + ²)“ Technik verwenden. F¨ur den Gesamtfehler erh¨alt man daraus eine Schranke, jGesamtfehlerj · jVerfahrensfehlerj + jRechenfehlerj · S(±; eps; h); die von der Schranke ± f¨ur die Auswertefehler von y, von der Maschinengenauigkeit epsund der Schrittweite h abh¨angt. S h¨angt noch von der Schranke M0 f¨ur die Werte von y und von der Schranke Mk f¨ur eine bestimmte h¨ohere Ableitung y(k) ab.
Bestimmen Sie jene Schrittweite h¤ = h(±; eps), f¨ur die S minimal wird. Welches Fehlerniveau kann daher mit De(h) bzw. Dz(h) f¨ur ± = eps = 10¡8 und M0 = Mk = 1 garantiert werden?
es ist das erste bsp:
http://www.math.tuwien.ac.at/~winfried/cnuebung/UE_Teil_I_Projekt_4.pdf
aufgabe:
Beispiel 1
(1a) Konstruieren Sie ein Beispiel das zeigt, dass die Kondition der Aufgabe extrem schlecht ist, d. h., dass derWert der Ableitung an der Stelle t sehr empfindlich auf kleine additive St¨orungen in der Datenfunktion y reagiert. Genauer gesagt: Betrachtet man den Wert der ersten Ableitung an der Stelle t der exakten Funktion y(t) 2 C1[a; b] und der gest¨orten Funktion ˜y(t) := y(t)+²(t), wobei k²(t)k1 als klein angenommen wird, so kann trotzdem j˜y0(t)¡y0(t)j beliebig groß werden.
Machen Sie eine Skizze, die die Problematik illustriert.
(1b) F¨ur beide der obigen N¨aherungsformeln leite man den Ausdruck f¨ur den Verfahrensfehler her, indem man entsprechende Glattheit (Differenzierbarkeit) von y voraussetze.
(1c) F¨ur beide Formeln gebe man eine m¨oglichst gute Absch¨atzung f¨ur den Rechenfehler an. Sie k¨onnen dabei die ” (1 + ²)“ Technik verwenden. F¨ur den Gesamtfehler erh¨alt man daraus eine Schranke, jGesamtfehlerj · jVerfahrensfehlerj + jRechenfehlerj · S(±; eps; h); die von der Schranke ± f¨ur die Auswertefehler von y, von der Maschinengenauigkeit epsund der Schrittweite h abh¨angt. S h¨angt noch von der Schranke M0 f¨ur die Werte von y und von der Schranke Mk f¨ur eine bestimmte h¨ohere Ableitung y(k) ab.
Bestimmen Sie jene Schrittweite h¤ = h(±; eps), f¨ur die S minimal wird. Welches Fehlerniveau kann daher mit De(h) bzw. Dz(h) f¨ur ± = eps = 10¡8 und M0 = Mk = 1 garantiert werden?