Bsp 48

[dose]

Relativ straightforward, man braucht eigentlich nur zeigen, daß das homogene RWP eindeutig lösbar is (so hab ichs zmd. verstanden):

R = / 1 0 \ S = / 0 0 \ Phi = / e^x e^-x \
\ 0 0 / \ 1 0 / \ e^x -e^-x /

det D = 1/e - e != 0 => eindeutig lösbar

[grassi3000]

Also wenn ich D richtig berechnet hab (R*phi(a) + S*phi(b)) dann krieg ich für D ({e^a,0}(e^b,0}) Raus, und da ist die Determinante = 0 ...

[Ubik]

Also das R ist ja [1 0 ; 0 0], das S ist [0 0 ; 1 0].
Das PHI(x) ist bei mir [exp(x) exp(-x) ; exp(x) -exp(-x)]

Damit ist D := R*PHI(a) + S*PHI(b) = [exp(a) exp(-a) ; exp(b) exp(-b)].
Und die Determinante davon mit a=0 und b=1 ist 1/e - e (!= 0).

[dose]

Hm, ich habs mim Matrizenrechnen auch nicht so ganz, ich komm auf:

D = / 1 0 \ / e^0 e^-0 \ + / 0 0 \ / e^1 e^-1 \ =
\ 0 0 / \ e^0 -e^-0 / \ 1 0 / \ e^1 -e^-1 /

= / 1 1 \ + / 0 0 \ = / 1 1 \
\ 0 0 / \ e e^-1 / \ e e^-1 /

det D = 1/e - e != 0

[Ubik]

genau das is es.

[Jokus]

Ahem...geb ja zu, war nicht in der VO diese Woche, aber wie komm ich auf die Matrix Phi? Ich nehm mal stark an, dass das die Fundamentalmatrix ist, aber ich werd aus dem Buch nicht ganz schlau, wie man die berechnet...

[Foolish_Genius]

ja mir gehts genauso - kann irgendjemand vl ganz kurz erklärn um was es in dem bsp geht? schlag mich da jetzt schon eine weile mit dem tollen buch herum, aber das kann mir da nicht wirklich weiterhelfen :( danke...

[dose]

Phi(x) setzt sich aus den Spaltenvektoren der Ableitungen der Funktionen der Lösungsbasis zusammen:

Phi(x) = / phi_1(x) phi_2(x) ... phi_n(x) \
| phi_1'(x) phi_2'(x) ... phi_n'(x) |
| phi_1''(x) phi_2''(x) ... phi_n''(x) |
| ... ... |
\ phi_1^(n-1)(x) phi_2^(n-1)(x) ... phi_n^(n-1)(x) /

[Foolish_Genius]

Phi(x) setzt sich aus den Spaltenvektoren der Ableitungen der Funktionen der Lösungsbasis zusammen:

Phi(x) = / phi_1(x) phi_2(x) ... phi_n(x) \
| phi_1'(x) phi_2'(x) ... phi_n'(x) |
| phi_1''(x) phi_2''(x) ... phi_n''(x) |
| ... ... |
\ phi_1^(n-1)(x) phi_2^(n-1)(x) ... phi_n^(n-1)(x) /


danke vielmals :) ist schon um einiges besser so...

[Foolish_Genius]

ok jetzt vl eine ganz dumme frage, weil ich mir nicht sicher bin ob ichs wirklich durchschaut hab: wie komm ich auf R und S? Wäre super wenn mir das noch jemand ganz kurz erklären könnte ;) danke an jeden der sich die mühe macht...

[dose]

R und S bestimmt man aus den Randbedingungen: In R stehen die Koeffizienten für den linken Randwert, in S für den rechten.
Die Spalten entsprechen den Ableitungen (also 1. Spalte ist y, 2. Spalte y', 3. Spalte y'',...) und die Zeilen den Gleichungen.

In dem Bsp:
y(0) = 0, y(1) = 1
Für den linken Randwert (a = 0) kommt nur einmal y vor ohne Ableitung, und zwar in der 1. Gleichung, für den rechten (b = 1) y ohne Ableitung nur in der 2. Gleichung vor => siehe oben wie R und S aussehen :)

[Foolish_Genius]

danke danke danke :) kriegst amal a bier dafür... weiß sogar scho was für eins... ;)